Question

已知曲線C：x²-

y2

3

=1（x＞0），A（-1，0），F(xiàn)（2，0）
（1）設M為曲線C上x軸上方任一點，求證：∠MFA=2∠MAF；
（2）若曲線C上存在兩點C，D關于直線l：y=-

1

2

x+b對稱，求實數(shù)b的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，是否存在過C、A、D、F的圓，且該圓的半徑為

3

2

．如果存在，求出這個圓的方程；如果不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設M點坐標為（x₀，y₀），則y02=3(

x

2 0

-1)．由于點M為x軸上方的一點，tan∠MAF=k_MA，tan∠MFA=-k_MF，由此由正切函數(shù)的性質(zhì)，能證明∠MFA=2∠MAF．
（2）設直線CD的方程為y=2x+m，代入x2-

y2

3

=1中，得x²+4mx+m²+3=0，由此利用根的判別式和韋達定理能求出b的取值范圍．
（3）法一：假如四點C、A、D、F共圓，圓心恰在x軸上，所以AF為外接圓的直徑，由雙曲線的對稱性，CD⊥AF，這與k_CD=2不符，故假設錯誤，所以四點C、A、D、F不可能共圓于半徑為

3

2

的圓．
（3）法二：假如四點C、A、D、F共圓，由圓的半徑為

3

2

，得b=

1

4

，與（2）的結論b＞4不符，故假設錯誤，所以四點C、A、D、F不可能共圓于半徑為

3

2

的圓．

解答： （1）證明：設M點坐標為（x₀，y₀），則有x02-

y 2 0

3

=1，即y02=3(

x

2 0

-1)．
由于點M為x軸上方的一點，tan∠MAF=k_MA，
tan∠MFA=-k_MF=

y0

2-x0

tan2∠MAF=

2tan∠MAF

1-tan2∠MAF

=

2kMA

1-kMA2

=

2 y0 x0+1

1-( y0 x0+1 )2

=

2(x0+1)y0

(x0+1)2-y02

=

2(x0+1)y0

(x0+1)2-3(x02-1)

=

2y0

4-2x0

=

y0

2-x0

，
又∠MFA、2∠MAF∈（0，π），且由正切函數(shù)的性質(zhì)，有∠MFA=2∠MAF，
∴∠MFA=2∠MAF．…（5分）
（2）解：設直線CD的方程為y=2x+m，代入x2-

y2

3

=1中，
得x²+4mx+m²+3=0，（1）
由于方程（1）有兩不等正根，
設C、D的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則有

△=16m2-4(m2+3)＞0 x1+x2=-4m＞0 x1•x2=m2+3＞0

，解得m＜-1，
又∵線段CD的中點M（-2m，-3m）也在直線y=-

1

2

x+b上，
于是有-3m=m+b，b=-4m，∴b＞4．…（10分）
（3）解法一：假如四點C、A、D、F共圓，
則圓心在直線x=

1

2

及直線y=-

1

2

x+b上，圓心坐標為(

1

2

，b-

1

4

)，
又由于圓的半徑為

3

2

，由

( 1 2 +1)2+(b- 1 4 )2

=

3

2

，得b=

1

4

，
從而圓心恰在x軸上，所以AF為外接圓的直徑，
∴∠ACF=90°，又由∠CFA=2∠CAF知

∠CAF=300

，同理∠DAF=30°，
由雙曲線的對稱性，CD⊥AF，這與k_CD=2不符，故假設錯誤，
∴四點C、A、D、F不可能共圓于半徑為

3

2

的圓．…（14分）
（3）解法二：假如四點C、A、D、F共圓，
則圓心在直線x=

1

2

及直線y=-

1

2

x+b上，圓心坐標為(

1

2

，b-

1

4

)，
又由于圓的半徑為

3

2

，由

( 1 2 +1)2+(b- 1 4 )2

=

3

2

，得b=

1

4

，
與（2）的結論b＞4不符，故假設錯誤，
∴四點C、A、D、F不可能共圓于半徑為

3

2

的圓．…（14分）

點評：本題考查兩角相等的證明，考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查四點共圓的判斷與求法，解題時要認真審題，注意反證法的合理運用．