Question

對(duì)于自然數(shù)數(shù)組（a，b，c），如下定義該數(shù)組的極差：三個(gè)數(shù)的最大值與最小值的差．如果（a，b，c）的極差d≥1，可實(shí)施如下操作f：若a，b，c中最大的數(shù)唯一，則把最大數(shù)減2，其余兩個(gè)數(shù)各增加1；若a，b，c中最大的數(shù)有兩個(gè)，則把最大數(shù)各減1，第三個(gè)數(shù)加2，此為一次操作，操作結(jié)果記為f₁（a，b，c），其級(jí)差為d₁．若d₁≥1，則繼續(xù)對(duì)f₁（a，b，c）實(shí)施操作f，…，實(shí)施n次操作后的結(jié)果記為f_n（a，b，c），其極差記為d_n．例如：f₁（1，3，3）=（3，2，2），f₂（1，3，3）=（1，3，3）．
（Ⅰ）若（a，b，c）=（1，3，14），求d₁，d₂和d₂₀₁₄的值；
（Ⅱ）已知（a，b，c）的極差為d且a＜b＜c，若n=1，2，3，…時(shí)，恒有d_n=d，求d的所有可能取值；
（Ⅲ）若a，b，c是以4為公比的正整數(shù)等比數(shù)列中的任意三項(xiàng)，求證：存在n滿足d_n=0．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)極差的定義，結(jié)合（a，b，c）=（1，3，14），可求d₁，d₂和d₂₀₁₄的值；
（Ⅱ）分類討論，由操作規(guī)則，盡快求出d_n=d時(shí)，d的所有可能取值；
（Ⅲ）先證明（a，b，c）的極差d₀是3的倍數(shù)，依據(jù)操作f的規(guī)則，當(dāng)在三元數(shù)組f_i（a，b，c）（i=1，2，3，…x，x∈N）中，總滿足c_i是唯一最大數(shù)，a_i是最小數(shù)時(shí)，一定有a+x＜b+x＜c-2x，解得x＜

c-b

3

；依據(jù)操作f的規(guī)則，當(dāng)在三元數(shù)組f_i（a，b，c）（i=

c-b

3

，

c-b

3

+1，…

c-b

3

+y，y∈N）中，總滿足c_i=b_i是最大數(shù)，a_i是最小數(shù)時(shí)，一定有

3a+c-b

3

+2y＜

c+2b

3

-y，解得y＜

b-a

3

，即可得出結(jié)論．

解答： （Ⅰ）解：由題意，d₁=10，d₂=7，d₂₀₁₄=2---------------------------（3分）
（Ⅱ）解：①當(dāng)d=2時(shí)，則（a，b，c）=（a，a+1，a+2）
所以f₁（a，a+1，a+2）=（a+1，a+2，a），d₁=a+2-a=2，
由操作規(guī)則可知，每次操作，數(shù)組中的最大數(shù)a+2變?yōu)樽钚��?shù)a，最小數(shù)a和次小數(shù)a+1分別變?yōu)榇涡��?shù)a+1和最大數(shù)a+2，所以數(shù)組的極差不會(huì)改變．
所以，當(dāng)d=2時(shí)，d_n=d（n=1，2，3，…）恒成立．
②當(dāng)d≥3時(shí)，則f₁（a，b，c）=（a+1，b+1，c-2）
所以d₁=b+1-（a+1）=b-a＜c-a=d或d₁=c-2-（a+1）=d-3
所以總有d₁≠d．
綜上討論，滿足d_n=d（n=1，2，3，…）的d的取值僅能是2．---------------------（8分）
（Ⅲ）證明：因?yàn)閍，b，c是以4為公比的正整數(shù)等比數(shù)列的三項(xiàng)，
所以a，b，c是形如m•4^k（其中m∈N^*）的數(shù)，
又因?yàn)?^k=（3+1）^k=3^k+

C

1 k

•3k-1+…+1
所以a，b，c中每?jī)蓚�(gè)數(shù)的差都是3的倍數(shù)．
所以（a，b，c）的極差d₀是3的倍數(shù)．------------------------------------------------（9分）
設(shè)f_i（a，b，c）=（a_i，b_i，c_i），不妨設(shè)a＜b＜c，
依據(jù)操作f的規(guī)則，當(dāng)在三元數(shù)組f_i（a，b，c）（i=1，2，3，…x，x∈N）中，總滿足c_i是唯一最大數(shù)，a_i是最小數(shù)時(shí)，一定有a+x＜b+x＜c-2x，解得x＜

c-b

3

．
所以，當(dāng)i=1，2，3，…

c-b

3

-1時(shí)，d_i=c_i-a_i=（c_i-1-2）-（a_i-1+1）=d_i-1-3．
f

c-b

3

（a，b，c）=（

3a+c-b

3

，

c+2b

3

，

c+2b

3

），d

c-b

3

=b-a
依據(jù)操作f的規(guī)則，當(dāng)在三元數(shù)組f_i（a，b，c）（i=

c-b

3

，

c-b

3

+1，…

c-b

3

+y，y∈N）中，總滿足c_i=b_i是最大數(shù)，a_i是最小數(shù)時(shí)，一定有

3a+c-b

3

+2y＜

c+2b

3

-y，解得y＜

b-a

3

．
所以，當(dāng)i=

c-b

3

，

c-b

3

+1，…，

c-a

3

-1時(shí)，d_i=c_i-a_i=（c_i-1-1）-（a_i-1+2）=d_i-1-3．
f

c-a

3

（a，b，c）=（

a+b+c

3

，

a+b+c

3

，

a+b+c

3

），d

c-a

3

=0
所以存在n=

c-a

3

，滿足f_n（a，b，c）的極差d_n=0．----------------------------（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的應(yīng)用，考查新定義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度大．