Question

已知函數y=f（x）的定義域為R，且對于任意x₁，x₂∈R，存在正實數L，使得|f（x₁）-f（x₂）|≤L|x₁-x₂|都成立．
（1）若，求L的取值范圍；
（2）當0＜L＜1時，數列{a_n}滿足a_n+1=f（a_n），n=1，2，…．
①證明：；
②令，證明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由|f（x₁）-f（x₂）|≤L|x₁-x₂|，可得≤L|x₁-x₂|，從而當x₁≠x₂時，得L≥，進而有L≥1，當x₁=x₂時，|f（x₁）-f（x₂）|≤L|x₁-x₂|恒成立，故問題得解；
（2）①由于a_n+1=f（a_n），n=1，2，…，所以當n≥2時，|a_n-a_n+1|=|f（a_n-1）-f（a_n）|≤L|a_n-1-a_n|=L|f（a_n-2）-f（a_n-1）|≤L²|a_n-2-a_n-1|≤…≤L^n-1|a₁-a₂|，從而≤（1+L+L²+…+L^n-1）|a₁-a₂|=|．所以問題可證
②由A_k=，表達出|
=|，再利用①的結論可解．
解答：解：（1）證明：對任意x₁，x₂∈R，有
|=|=．…2分
由|f（x₁）-f（x₂）|≤L|x₁-x₂|，即≤L|x₁-x₂|．
當x₁≠x₂時，得L≥．
∵|，且|x₁|+|x₂|≥|x₁+x₂|，
∴≤1．…4分
∴要使|f（x₁）-f（x₂）|≤L|x₁-x₂|對任意x₁，x₂∈R都成立，只要L≥1．
當x₁=x₂時，|f（x₁）-f（x₂）|≤L|x₁-x₂|恒成立．
∴L的取值范圍是[1，+∞）．…5分
（2）證明：①∵a_n+1=f（a_n），n=1，2，…，
故當n≥2時，|a_n-a_n+1|=|f（a_n-1）-f（a_n）|≤L|a_n-1-a_n|=L|f（a_n-2）-f（a_n-1）|≤L²|a_n-2-a_n-1|≤…≤L^n-1|a₁-a₂|
∴≤（1+L+L²+…+L^n-1）|a₁-a₂|…7分
=|．
∵0＜L＜1，∴（當n=1時，不等式也成立）．…9分
②∵A_k=，
∴|
=|
=|
≤． …11分
∴


=
≤|a₁-a₂|+|a₂-a₃|+…+|a_n-a_n+1|≤|．…14分
點評：本小題主要考查函數、數列求和、絕對值不等式等知識，考查化歸與轉化的數學思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識