Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD=90°，AD=3BC，O是AD上一點(diǎn)．
（Ⅰ）若AD=3OD，求證：CD∥平面PBO；
（Ⅱ）求證：平面PAB⊥平面PCD．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由AD=3BC，AD=3OD，推斷出OD=BC，又OD∥BC，可知四邊形BCDO為平行四邊形，推斷出CD∥BO，根據(jù)線面平行的判定定理證明出CD∥平面PBO．
（Ⅱ）由側(cè)面PAD⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，AB⊥AD，推斷出AB⊥平面PAD，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)知AB⊥PD，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判定定理可知PD⊥平面PAB，進(jìn)而根據(jù)面面垂直的判定定理推斷出平面PAB⊥平面PCD．

解答： 證明：（Ⅰ）∵AD=3BC，AD=3OD，
∴OD=BC，
∵OD∥BC，
∴四邊形BCDO為平行四邊形，
∴CD∥BO，又BO?平面PBO，CD?平面PBO，
∴CD∥平面PBO．
（Ⅱ）∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，AB⊥AD，
∴AB⊥平面PAD，
∵PD?平面PAD，
∴AB⊥PD，
又PA⊥PD，且PA?平面PAB，AB?平面PAB，AB∩PA=A，
∴PD⊥平面PAB，
∵PD?平面PCD，
∴平面PAB⊥平面PCD．

點(diǎn)評：本題主要考查了線面垂直，面面垂直的判定定理及性質(zhì)．證明面面垂直的關(guān)鍵是找到平面中與另一平面垂直的直線．