Question

（本小題滿分12分）

如圖，在四棱錐中，底面，，，是的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明；
（Ⅱ）證明平面；
（Ⅲ）求二面角的大小．

Answer 1

（Ⅰ）證明：在四棱錐中，因底面，平面，故．
，平面．
而平面，．
（Ⅱ）證明：由，，可得．
是的中點(diǎn)，．
由（Ⅰ）知，，且，所以平面．
而平面，．
底面在底面內(nèi)的射影是，，．
又，綜上得平面．
（Ⅲ）二面角的大小是

（Ⅰ）證明：在四棱錐中，因底面，平面，故．


，平面．
而平面，．
（Ⅱ）證明：由，，可得．
是的中點(diǎn)，．
由（Ⅰ）知，，且，所以平面．
而平面，．
底面在底面內(nèi)的射影是，，．
又，綜上得平面．
（Ⅲ）解法一：過點(diǎn)作，垂足為，連結(jié)．則（Ⅱ）知，平面，在平面內(nèi)的射影是，則．
因此是二面角的平面角．
由已知，得．設(shè)，
可得．
在中，，，
則．
在中，．
所以二面角的大小是．
解法二：由題設(shè)底面，平面，則平面平面，交線為．
過點(diǎn)作，垂足為，故平面．過點(diǎn)作，垂足為，連結(jié)，故．因此是二面角的平面角．
由已知，可得，設(shè)，
可得．
，．
于是，．
在中，．
所以二面角的大小是．