Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面BB₁C₁C為菱形，B₁C的中點為O，且AO⊥平面BB₁C₁C．
（1）證明：B₁C⊥AB；
（2）若AC⊥AB₁，∠CBB₁=60°，BC=1，求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的性質(zhì),棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連接BC₁，則O為B₁C與BC₁的交點，證明B₁C⊥平面ABO，可得B₁C⊥AB；
（2）作OD⊥BC，垂足為D，連接AD，作OH⊥AD，垂足為H，證明△CBB₁為等邊三角形，求出B₁到平面ABC的距離，即可求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高．

解答： （1）證明：連接BC₁，則O為B₁C與BC₁的交點，
∵側(cè)面BB₁C₁C為菱形，
∴BC₁⊥B₁C，
∵AO⊥平面BB₁C₁C，
∴AO⊥B₁C，
∵AO∩BC₁=O，
∴B₁C⊥平面ABO，
∵AB?平面ABO，
∴B₁C⊥AB；
（2）解：作OD⊥BC，垂足為D，連接AD，作OH⊥AD，垂足為H，
∵BC⊥AO，BC⊥OD，AO∩OD=O，
∴BC⊥平面AOD，
∴OH⊥BC，
∵OH⊥AD，BC∩AD=D，
∴OH⊥平面ABC，
∵∠CBB₁=60°，
∴△CBB₁為等邊三角形，
∵BC=1，∴OD=

3

4

，
∵AC⊥AB₁，∴OA=

1

2

B₁C=

1

2

，
由OH•AD=OD•OA，可得AD=

OD2+OA2

=

7

4

，∴OH=

21

14

，
∵O為B₁C的中點，
∴B₁到平面ABC的距離為

21

7

，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高

21

7

．

點評：本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查點到平面距離的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．