Question

已知函數(shù)f（x）=

-x3+x2，x＜1 alnx，x≥1

，其中a為實(shí)常數(shù)，且a≠0．
（Ⅰ）若a≤-1，證明：當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≥（a+2）x-x²；
（Ⅱ）設(shè)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，若在函數(shù)y=f（x）的圖象上總存在不同兩點(diǎn)A，B，使OA⊥OB，且線段AB的中點(diǎn)在y軸上，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）設(shè)g（x）=f（x）-（a+2）x+x²，當(dāng)x≥1時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)法可判斷g（x）是增函數(shù)，進(jìn)而得到g（x）≥g（1）=-（a+1）≥0，即當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≥（a+2）x-x²；
（Ⅱ）由題意設(shè)A（x，y₁），B（-x，y₂），（x＞0），分x=1，0＜x＜1，和x＞1三種情況，結(jié)合向量垂直的充要條件分別求出滿足條件的a的取值范圍，最后綜合討論結(jié)果可得答案．

解答： 證明：（I）設(shè)g（x）=f（x）-（a+2）x+x²；
當(dāng)x≥1時(shí)，g（x）=alnx+x²-（a+2）x，
∴g′（x）=

a

x

+2x-（a+2）=

2x2-(a+2)x+a

x

=

(2x -a)(x-1)

x

，
∵a≤-1，x≥1，故g′（x）≥0恒成立，
故g（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
故當(dāng)x≥1時(shí)，g（x）≥g（1）=-（a+1）≥0，
即當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≥（a+2）x-x²；
解：（Ⅱ）∵線段AB的中點(diǎn)在y軸上，
∴A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，
設(shè)A（x，y₁），B（-x，y₂），（x＞0）
（1）若x=1，則y₁=alnx=0，y₂=1+1=2，
此時(shí)點(diǎn)A（1，0），B（-1，2），
此時(shí)OA⊥OB不成立，
（2）若0＜x＜1，則y₁=-x³+x²，y₂=x³+x²，
由方程x•（-x）+（-x³+x²）（x³+x²）=0無(wú)正解，
故此時(shí)OA⊥OB不成立，
（3）若x＞1，則y₁=alnx，y₂=x³+x²，
若OA⊥OB，則x•（-x）+（alnx）（x³+x²）=0，
即

1

a

=（x+1）lnx，
設(shè)h（x）=（x+1）lnx，（x＞1）
則h′（x）=lnx+

x+1

x

＞0，
即h（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
則當(dāng)x＞1時(shí)，h（x）＞h（1）=0，
即h（x）的值域是（0，+∞），
即

1

a

∈（0，+∞），
即a∈（0，+∞），

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)法分析函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值，向量垂直的充要條件，綜合性強(qiáng)，運(yùn)算強(qiáng)度大，分類(lèi)麻煩，屬于難題．