Question

有以下命題：
①過空間一定點P與兩異面直線a，b都相交的直線有且只有1條；
②平面α外的直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線平行，則l∥α；
③異面直線a，b成角為θ，過空間一定點P作直線l與a，b成角都為

π

3

的直線有4條，則θ的取值范圍為（

π

3

，

π

2

]；
④空間四邊形ABCD中，AB=CD=8，M，N分別是BD，AC的中點，若異面直線AB與CD所成角為60°，則MN=4．
其中正確命題有

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：本題①根據(jù)空間兩條直線的位置關(guān)系，判斷命題的真假，得到本題結(jié)論；②根據(jù)空間直線與平面的位置關(guān)系，判斷命題的真假，得到本題結(jié)論；③根據(jù)空間三條直線的位置關(guān)系，判斷命題的真假，得到本題結(jié)論；④根據(jù)異面直線所在的角的概念，構(gòu)造三角形，計算得到MN的長，從而判斷命題的真假，得到本題結(jié)論．

解答： 解：①過空間一定點P與兩異面直線a，可以得到一個平面α，
當(dāng)直線b∥平面α?xí)r，過點P與直線a，b都相交的直線不存在，
故命題①是錯誤的；
②由線面平行的判定，平面外一條直線與平面內(nèi)一條直線平行，則該直線與平面平行．
平面α外的直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線平行，顯然有l(wèi)∥α，、
故命題②正確；
③∵異面直線a，b成角為θ，過空間一定點P作直線l與a，b成角都為

π

3

的直線有4條，
∴過空間一定點P作直線a′∥a，b′∥b．
則直線a′與b′相交形成4個角，大小分別為θ，π-θ，θ，π-θ．
∵過空間一定點P作直線l與a，b成角都為

π

3

的直線有4條，
∴

θ＜ 2π 3 π-θ＜ 2π 3

，
∴

π

3

＜θ＜

2π

3

，
又∵0＜θ≤

π

2

∴θ的取值范圍為（

π

3

，

π

2

]；
故命題③正確；
④空間四邊形ABCD中，AB=CD=8，M，N分別是BD，AC的中點，若異面直線AB與CD所成角為60°，
取BC中點P，連結(jié)PM、PN，
∴PM∥AB，PN∥BC，
PM=

1

2

BC=4，PN=

1

2

BC=4，
∵若異面直線AB與CD所成角為60°，
∴∠MPN=60°或∠MPN=120°，
∴MN=4或MN=4

3

．
故命題④不正確．
綜上，正確的命題有②③．
故答案為：②③．

點評：本題考查了命題真假的判斷，還考查了空間直線與直線的位置關(guān)系、空間直線 與平面的位置關(guān)系，本題難度適中，屬于中檔題．