Question

已知a_n+1=-a_n-2b_n且b_n+1=6a_n+6b_n，a₁=2，b₁=4，求a_n、b_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：根據(jù)數(shù)列遞推關(guān)系，建立方程，利用構(gòu)造法，即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵a₁=2，b₁=4，
∴a₂=-a₁-2b₁=-2-8=-10，
由a_n+1=-a_n-2b_n，得a_n+1+a_n=-2b_n，
∵b_n+1=6a_n+6b_n，
∴b_n+1=6a_n-3a_n+1-3a_n=-3a_n+1+3a_n，
即a_n+2+a_n+1=-2b_n+1=-2（-3a_n+1+3a_n），
即a_n+2=5a_n+1-6a_n，
則a_n+2-3a_n+1=2（a_n+1-3a_n），
即數(shù)列{a_n+1-3a_n}是公比q=2的等比數(shù)列，首項(xiàng)為a₂-3a₁=-16，
則a_n+1-3a_n=-2ⁿ⁺³，
兩邊同除以3ⁿ⁺¹，得

an+1

3n+1

-

an

3n

=-

2n+3

3n+1

=-4•(

2

3

)n+1，
則

a2

32

-

a1

3

=-4×(

2

3

)2，

a3

33

-

a2

32

=-4×(

2

3

)³，
…

an

3n

-

an-1

3n-1

=-4×(

2

3

)^n-1，
等式兩邊同時(shí)相加得

an

3n

-

a1

3

=-4×

4 9 -( 2 3 )n+1

1- 2 3

，
∴

an

3n

=

a1

3

-4×

4 9 -( 2 3 )n+1

1- 2 3

=3•(

2

3

)n+1-4，
即a_n=2ⁿ⁺¹-4•3ⁿ，
則a_n+1=2ⁿ⁺²-4•3ⁿ⁺¹，
∴b_n=6a_n-1+6b_n-1=8•3ⁿ-3•2ⁿ．
綜上：a_n=2ⁿ⁺¹-4•3ⁿ，b_n=6a_n-1+6b_n-1=8•3ⁿ-3•2ⁿ．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，根據(jù)數(shù)列的遞推公式，通過構(gòu)造數(shù)列是解決本題的關(guān)鍵．運(yùn)算量大，難度較大．