Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²+alnx．
（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

e

，e]上最大值及最小值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)最值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，即可求函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

e

，e]上最大值及最小值；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，確定函數(shù)極值的關(guān)系，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：f′(x)=x+

a

x

（Ⅰ）定義域?yàn)?span id="lfyrxyp" class="MathJye">[

1

e

，e]，當(dāng)a=-1時(shí)，f′(x)=x-

1

x

＞0⇒x＞1，
∴f（x）在[

1

e

，1]上單調(diào)遞減，在[1，e]上單調(diào)遞增，
∴f(x)min=f(1)=

1

2

，
∵f(

1

e

)-f(e)=

1

2e2

+1-

1

2

e2+1=

-(e2-2)2+3

2e2

＜

-(22-2)2+3

2e2

＜0，
∴f(x)max=f(e)=

1

2

e2-1．
（Ⅱ）當(dāng)a≥0時(shí)，f′（x）≥0，
∴f（x）在（0，+∞）的單調(diào)遞增
從而f（x）不可能有兩個(gè)零點(diǎn)．
當(dāng)a＜0時(shí)，令f′(x)=0⇒x=

-a

(x＞0)
當(dāng)x∈(0，

-a

)時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在(0，

-a

)上單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈(

-a

，+∞)時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在(

-a

，+∞)上單調(diào)遞增，
∴f(x)min=f(

-a

)=-

1

2

a+

1

2

aln(-a)，
∴f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)的充要條件是

a＜0 - 1 2 a+ 1 2 aln(-a)＜0

⇒a＜-e，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-e）．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)最值的求解，以及函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．