【題目】如圖，在多面體中，四邊形為直角梯形， ， ， ， ，四邊形為矩形.

（1）求證：平面平面；

（2）線段上是否存在點，使得二面角的大小為？若存在，確定點的位置并加以證明.

【答案】（1）見解析（2）點為線段的中點

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)勾股定理得，再由矩形性質得，由線面垂直判定定理得，最后根據(jù)面面垂直判定定理得結論 （2）根據(jù)條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，根據(jù)方程組解各平面法向量，根據(jù)向量數(shù)量積兩法向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角相等或互補關系求點坐標，即得點的位置

試題解析：（1）證明：由平面幾何的知識，易得， ，

又，所以在中，滿足，所以為直角三角形，且.

因為四邊形為矩形，

所以.

由， ， ，

可得 .

又，

所以平面 平面.

（2）存在點，使得二面角為大小為，點為線段的中點.

事實上，以為原點， 為軸， 為軸，過作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標系，

則, ，

設,由，

即，得.

設平面的一個法向量為，

則，即，

不妨設，取.

平面的一個法向量為.

二面角為大小為

于是.

解得 或（舍去）.

所以當點為線段的中點時，二面角為大小為.

練習冊系列答案
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【題目】在△ABC中，a，b，c分別為A，B，C所對邊，a+b=4，（2﹣cosA）tan =sinA．
（1）求邊長c的值；
（2）若E為AB的中點，求線段EC的范圍．

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【題目】已知拋物線的頂點是坐標原點，焦點在軸的正半軸上，過焦點且斜率為的直線與拋物線交于兩點，且滿足.

（1）求拋物線的方程；

（2）已知為拋物線上一點，若點位于軸下方且，求的值.

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【題目】近年來城市“共享單車”的投放在我國各地迅猛發(fā)展，“共享單車”為人們出行提供了很大的便利，但也給城市的管理帶來了一些困難，現(xiàn)某城市為了解人們對“共享單車”投放的認可度，對年齡段的人群隨機抽取人進行了一次“你是否贊成投放共享單車”的問卷調查，根據(jù)調查結果得到如下統(tǒng)計表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖：

組號

分組

贊成投放的人數(shù)

贊成投放的人數(shù)占本組的頻率

第一組

第二組

第三組

第四組

第五組

第六組

（）求， ， 的值．

（）在第四、五、六組“贊成投放共享單車”的人中，用分層抽樣的方法抽取人參加“共享單車”騎車體驗活動，求第四、五、六組應分別抽取的人數(shù)．

（）在（）中抽取的人中隨機選派人作為領隊，求所選派的人中第五組至少有一人的概率．

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【題目】已知點R（x0 ， y0）在D：y2=2px上，以R為切點的D的切線的斜率為 ，過Γ外一點A（不在x軸上）作Γ的切線AB、AC，點B、C為切點，作平行于BC的切線MN（切點為D），點M、N分別是與AB、AC的交點（如圖）．

（1）用B、C的縱坐標s、t表示直線BC的斜率；
（2）設三角形△ABC面積為S，若將由過Γ外一點的兩條切線及第三條切線（平行于兩切線切點的連線）圍成的三角形叫做“切線三角形”，如△AMN，再由M、N作“切線三角形”，并依這樣的方法不斷作切線三角形…，試利用“切線三角形”的面積和計算由拋物線及BC所圍成的陰影部分的面積T．

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【題目】設橢圓的右焦點為，右頂點為，已知，其中為坐標原點， 為橢圓的離心率.

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在斜率為2的直線，使得當直線與橢圓有兩個不同交點時，能在直線上找到一點，在橢圓上找到一點，滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.

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【題目】《城市規(guī)劃管理意見》中提出“新建住宅原則上不再建設封閉住宅小區(qū)，已建成的住宅小區(qū)和單位大院逐步打開”，此消息在網(wǎng)上一石激起千層浪．各種說法不一而足，為了了解居民對“開放小區(qū)”認同與否，從[25，55]歲人群中隨機抽取了n人進行問卷調查，得如下數(shù)據(jù)：

組數(shù)

分組

認同人數(shù)

認同人數(shù)占
本組人數(shù)比

第一組

[25，30）

120

0.6

第二組

[30，35）

195

p

第三組

[35，40）

100

0.5

第四組

[40，45）

a

0.4

第五組

[45，50）

30

0.3

第六組

[50，55）

15

0.3


（1）完成所給頻率分布直方圖，并求n，a，p．
（2）若從[40，45），[45，50）兩個年齡段中的“認同”人群中，按分層抽樣的方法抽9人參與座談會，然后從這9人中選2名作為組長，組長年齡在[40，45）內的人數(shù)記為ξ，求隨機變量ξ的分布列和期望．

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【題目】甲乙兩人同時生產(chǎn)內徑為的一種零件，為了對兩人的生產(chǎn)質量進行評比，從他們生產(chǎn)的零件中各抽出 5 件（單位： ） ,

甲：25.44，25.43， 25.41，25.39，25.38

乙：25.41，25.42， 25.41，25.39，25.42.

從生產(chǎn)的零件內徑的尺寸看、誰生產(chǎn)的零件質量較高．

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【題目】設函數(shù)f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．
（1）若函數(shù)f（x）在x=e處的切線與y軸相交于點（0，2﹣e），求a的值；
（2）當1＜x＜2時，求證： ＞ ﹣ ．

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