Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求證：當(dāng)時，；

（2）若對任意存在和使成立，求實(shí)數(shù)的最小值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）不等式等價于，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)可證恒成立，從而原不等式成立.

（2）由題設(shè)條件可得在上有兩個不同零點(diǎn)，且，利用導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性后可得其最小值，結(jié)合前述的集合的包含關(guān)系可得的取值范圍.

（1）設(shè)，則，

當(dāng)時，由，所以在上是減函數(shù)，

所以，故.

因?yàn)?/span>，所以，所以當(dāng)時，.

（2）由（1）當(dāng)時，；

任意，存在和使成立，

所以在上有兩個不同零點(diǎn)，且，

（1）當(dāng)時，在上為減函數(shù)，不合題意；

（2）當(dāng)時，，

由題意知在上不單調(diào)，

所以，即，

當(dāng)時，，時，，

所以在上遞減，在上遞增，

所以，解得，

因?yàn)?/span>，所以成立，

下面證明存在，使得，

取，先證明，即證，

令，則在時恒成立，

所以成立，

因?yàn)?/span>，

所以時命題成立.

因?yàn)?/span>，所以.

故實(shí)數(shù)的最小值為.