已知函數(shù)y=f(x)對任意x,y∈R,均有f(x)+f(y)=f(x+y),且當x＞0時，f(x)＜0,f（1）=-.

(1)判斷并證明f(x)在R上的單調性；

(2)求f(x)在［-3,3］上的最大、最小值.

解:(1)令x=y=0,f(0)=0,令y=-x可得:f(-x)=-f(x).

在R上任取x1＜x2,Δx=x2-x1＞0,

Δy=f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1).

∵x1＜x2,∴x2-x1＞0.

又∵x＞0時,f(x)＜0.

∴f(x2-x1)＜0即Δy＜0,也即f(x2)＜f(x1).

由定義可知,f(x)在R上為單調遞減函數(shù).

(2)∵f(x)在R上是減函數(shù),

∴f(x)在［-3,3］上也是減函數(shù).

∴f(-3)最大,f(3)最小,

f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3×(-)=-2,

∴f(-3)=-f(3)=2,

即f(x)在［-3,3］上最大值為2,最小值為-2.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)y=f(x+
1
2
)為奇函數(shù)，設g（x）=f（x）+1，則g(
1
2011
)+g(
2
2011
)+g(
3
2011
)+g(
4
2011
)+…+g(
2010
2011
)=（　�。�
A、1005B、2010
C、2011D、4020

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)y=f(x)=
lnx
x
．
（1）求函數(shù)y=f（x）的圖象在x=
1
e
處的切線方程；
（2）求y=f（x）的最大值；
（3）比較20092010與20102009的大小，并說明為什么？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)y=f(x)=
lnx
x
．
（1）求函數(shù)y=f（x）的圖象在x=
1
e
處的切線方程；
（2）求y=f（x）的單調區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)y=
f(x)
ex
(x∈R)滿足f′（x）＞f（x），則f（1）與ef（0）的大小關系為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給出如下命題：
命題p：已知函數(shù)y=f(x)=
1-x3
，則|f（a）|＜2（其中f（a）表示函數(shù)y=f（x）在x=a時的函數(shù)值）；
命題q：集合A={x|x2+（a+2）x+1=0，x∈R}，B={x|x＞0}，且A∩B=∅；
求實數(shù)a的取值范圍，使命題p，q中有且只有一個為真命題．

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