對任意實數(shù)k滿足直線y=kx+b與橢圓
x=
3
+2cosθ
y=1+4sinθ
(0≤θ＜2π)恒有公共點，則b的取值范圍是
-1≤b≤3
-1≤b≤3
．
分析：先把橢圓的參數(shù)方程化為普通方程，與直線方程聯(lián)立得到關(guān)于x的一元二次方程，由題意可得△≥0，而此式對于任意實數(shù)k恒成立，必有△1≤0，解得即可．
解答：解：由橢圓
x=
3
+2cosθ
y=1+4sinθ
(0≤θ＜2π)消去參數(shù)θ可得：
(x-
3
)2
4
+
(y-1)2
16
=1，
把y=kx+b代入上式消去y可得：（4+k2）x2+[2k(b-1)-8
3
]x+b2-2b-3=0．
∵直線y=kx+b與橢圓恒有公共點，
∴△≥0，即[2k(b-1)-8
3
]2-4(4+k2)(b2-2b-3)≥0，
化為k2-2
3
k(b-1)-b2+2b+15≥0．
∵上式對任意實數(shù)k恒成立，∴△1≤0，即12（b-1）2-4（-b2+2b+15）≤0，
化為b2-2b-3≤0，解得-1≤b≤3．
故答案為-1≤b≤3．
點評：本題考查了直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到x的一元二次方程的判別式△≥0、對于任意實數(shù)k一元二次不等式恒成立再轉(zhuǎn)化為△≤0問題等基礎(chǔ)知識與基本技能，屬于難題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

14、某同學(xué)對函數(shù)f（x）=xcosx進行研究后，得出以下五個結(jié)論：①函數(shù)y=f（x）的圖象是中心對稱圖形；②對任意實數(shù)x，f（x）＞0均成立；③函數(shù)[a，b]的圖象與x軸有無窮多個公共點，且任意相鄰兩點的距離相等；④函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=x有無窮多個公共點，且任意相鄰兩點的距離相等；⑤當(dāng)常數(shù)k滿足|k|＞1時，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=kx有且僅有一個公共點．其中所有正確結(jié)論的序號是
①④⑤
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某同學(xué)對函數(shù)f（x）=xcosx進行研究后，得出以下五個結(jié)論：
①函數(shù)y=f（x）的圖象是中心對稱圖形；
②對任意實數(shù)x，f（x）≤|x|均成立；
③函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸有無窮多個公共點，且任意相鄰兩點的距離相等；
④函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=x有無窮多個公共點，且任意相鄰兩點的距離相等；
⑤當(dāng)常數(shù)k滿足|k|＞1時，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=kx有且僅有一個公共點．其中所有正確結(jié)論的序號是
①②④⑤
①②④⑤
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•松江區(qū)一模）某同學(xué)對函數(shù)f（x）=xcosx進行研究后，得出以下五個結(jié)論：
①函數(shù)y=f（x）的圖象是軸對稱圖形；
②對任意實數(shù)x，f（x）≤|x|恒成立；
③函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸有無窮多個公共點，且任意相鄰兩點的距離相等；
④函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=x有無窮多個公共點，且任意相鄰兩點的距離相等；
⑤當(dāng)常數(shù)k滿足|k|＞1|時，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=kx有且僅有一個公共點．
其中正確的結(jié)論序號是
②④⑤
②④⑤
（請寫出所有正確結(jié)論序號）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：福建師大附中2011－2012學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 題型：022

設(shè)M(a，b)，且滿足a2＋b2＝1，已知圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，直線l：y＝kx，下列四個命題：

①對滿足條件的任意點M和任意實數(shù)k，直線l和圓C有公共點；

②對滿足條件的任意點M和任意實數(shù)k，直線l和圓C相切；

③對任意實數(shù)k，必存在滿足條件的點M，使得直線l和圓C相切；

④對滿足條件的任意點M，必存在實數(shù)k，使得直線l和圓C相切．

其中正確的命題是________．(寫出所有正確命題的序號)

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