Question

證明下列各題：
（1）證明：

3

、

5

、

7

不可能成等差數(shù)列；
（2）已知x，y，a，b都是實(shí)數(shù)，且x²+y²=1，a²+b²=1，求證：|ax+by|≤1．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明

專題：證明題,不等式

分析：（1）利用反證法證明，假設(shè)

3

、

5

、

7

可能成等差數(shù)列，25=21，顯然等式不成立，矛盾，即可證明不可能是等差數(shù)列中的三項(xiàng)；
（2）將求證式中的“1”與題設(shè)中的“1”聯(lián)系起來，利用定理可快速求解．

解答： 證明：（1）假設(shè)

3

、

5

、

7

可能成等差數(shù)列．…（2分）
則2

5

=

3

+

7

，
兩邊平方，得20=10+2

21

，…（5分）
即5=

21

，
則25=21，顯然等式不成立．…（8分）
故

3

、

5

、

7

不可能成等差數(shù)列．…（10分）
（2）要證|ax+by|≤1
需證|ax+by|²=a²x²+2abxy+b²y²≤1．…（14分）
∵x²+y²=1，a²+b²=1∴1=（x²+y²）（a²+b²）=a²x²+b²y²+b²x²+a²y²≥a²x²+b²y²+2abxy…（19分）
故|ax+by|≤1．…（20分）

點(diǎn)評：本題考查用分析法和反證法證明不等式，用分析法證明不等式的關(guān)鍵是尋找使不等式成立的充分條件，用反證法證明不等式的關(guān)鍵是推出矛盾．