Question

已知圓C經(jīng)過點A(－2,0)，B(0,2)，且圓心C在直線y＝x上，又直線l：y＝kx＋1與圓C相交于P、Q兩點．

(1)求圓C的方程；

(2)過點(0,1)作直線l1與l垂直，且直線l1與圓C交于M、N兩點，求四邊形PMQN面積的最大值．

 

Answer 1

（1）x2＋y2＝4 （2）7

【解析】(1)設(shè)圓心C(a，a)，半徑為r，因為圓C經(jīng)過點A(－2,0)，B(0,2)，

所以|AC|＝|BC|＝r，即＝＝r，解得a＝0，r＝2.

故所求圓C的方程為x2＋y2＝4.

(2)設(shè)圓心C到直線l，l1的距離分別為d，d1，四邊形PMQN的面積為S.

因為直線l，l1都經(jīng)過點(0,1)，且l1⊥l，根據(jù)勾股定理，有d12＋d2＝1.

又|PQ|＝2×，|MN|＝2×，

所以S＝|PQ|·|MN|，

即S＝×2××2×＝

2＝2≤

2＝2＝7，

當且僅當d1＝d時，等號成立，所以四邊形PMQN面積的最大值為7.