Question

已知函數(shù)f(x)=ln

x+1

x-1

．
（Ⅰ）求函數(shù)的定義域，并證明f(x)=ln

x+1

x-1

在定義域上是奇函數(shù)；
（Ⅱ）對于x∈[2，6]f(x)=ln

x+1

x-1

＞ln

m

(x-1)(7-x)

恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)一定要大于0可求其定義域，將-x代入函數(shù)f（x）可知f（-x）=-f（x），故為奇函數(shù)．
（2）f（x）是以e＞1為底數(shù)的對數(shù)函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性可得

x+1

x-1

＞

m

(x-1)(7-x)

＞0，即0＜m＜（x+1）（7-x）在x∈[2，6]成立，進而可求m的范圍．

解答：解：（Ⅰ）由

x+1

x-1

＞0，解得x＜-1或x＞1，
∴函數(shù)的定義域為（-∞，-1）∪（1，+∞）
當(dāng)x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）時，
f(-x)=ln

-x+1

-x-1

=ln

x-1

x+1

=ln(

x+1

x-1

)-1=-ln

x+1

x-1

=-f(x)
∴f(x)=ln

x+1

x-1

在定義域上是奇函數(shù)．
（Ⅱ）由x∈[2，6]時，f(x)=ln

x+1

x-1

＞ln

m

(x-1)(7-x)

恒成立，
∴

x+1

x-1

＞

m

(x-1)(7-x)

＞0，∵x∈[2，6]
∴0＜m＜（x+1）（7-x）在x∈[2，6]成立
令g（x）=（x+1）（7-x）=-（x-3）²+16，x∈[2，6]，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知x∈[2，3]時函數(shù)單調(diào)遞增，x∈[3，6]時函數(shù)單調(diào)遞減，
x∈[2，6]時，g（x）_min=g（6）=7．
∴0＜m＜7．

點評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)，即真數(shù)大于0、當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時單調(diào)遞增，當(dāng)?shù)讛?shù)大于0小于1時單調(diào)遞減．