Question

（本題滿分16分）本題共有3個(gè)小題，第一小題3分，第二小題7分，第三小題6分

如圖，曲線由曲線和曲線組成，其中點(diǎn)為曲線所在圓錐曲線的焦點(diǎn)，點(diǎn)為曲線所在圓錐曲線的焦點(diǎn)，

（1）若，求曲線的方程；

（2）如圖，作直線平行于曲線的漸近線，交曲線于點(diǎn)A、B，求證：弦AB的中點(diǎn)M必在曲線的另一條漸近線上；

（3）對(duì)于（1）中的曲線，若直線過(guò)點(diǎn)交曲線于點(diǎn)C、D，求面積的最大值。

Answer 1

（1）和；（2）證明見(jiàn)解析；（3）．

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數(shù)法求解；（2）寫(xiě)出漸近線的方程與直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式寫(xiě)出中點(diǎn)坐標(biāo)，再驗(yàn)證中點(diǎn)在另外一條漸近線上；（3）寫(xiě)出直線方程，與曲線方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式求弦長(zhǎng)與高，求三角形的面積的不等式，再利用基本不等式求其最值.

試題解析：（1） 2分

則曲線的方程為和。 3分

（2）曲線的漸近線為 4分

如圖，設(shè)直線 5分

則 6分

又由數(shù)形結(jié)合知， 7分

設(shè)點(diǎn)，

則， 8分

， 9分

，即點(diǎn)M在直線上。 10分

（3）由（1）知，曲線，點(diǎn)

設(shè)直線的方程為

10分

11分

設(shè)

由韋達(dá)定理： 12分

令，，

14分

，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立 15分

時(shí)， 16分

考點(diǎn)：1.圓錐曲線；2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；3.基本不等式.