Question

如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的AA₁=1，底面ABCD的周長為4。

⑴ 當長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積最大時，求二面角B-A₁C-D的值；

⑵ 線段A₁C上是否存在一點P，使得A₁C平面BPD，若有，求出P點的位置，沒有請說明理由.

Answer 1

.解：法一：

⑴ 根據(jù)題意，長方體體積為

  ……2分

當且僅當，即時體積有最大值為1

所以當長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積最大時，底面四邊

形ABCD為正方形  

作BMA₁C于M，連接DM，BD

因為四邊形ABCD為正方形，所以與全等，故DMA₁C，所以即為所求二面角的平面角     ……6分

因為BC平面AA₁B₁B，所以為直角三角形

又，所以，同理可得，  

在BMD中，根據(jù)余弦定理有： 

因為，所以

即此時二面角B-A₁C-D的值是. 

⑵ 若線段A₁C上存在一點P，使得 A₁C平面BPD，則A₁CBD 

又A₁A平面ABCD,所以A₁ABD，所以BD平面A₁AC

所以BDAC       

底面四邊形ABCD為正方形，即只有ABCD為正方形時，線段A₁C上存在點P滿足要求，否則不存在

由⑴知，所求點P即為BMA₁C的垂足M

此時，  法二：

根據(jù)題意可知，AA₁, AB,AD兩兩垂直，以AB為軸，AD為軸，AA₁為軸建立如圖所示的空間直角坐標系：

⑴長方體體積為當且僅當，即時體積有最大值為1   所以當長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積最大時，底面四邊形ABCD為正方形  

則，

設(shè)平面A₁BC的法向量，則

取，得： 

同理可得平面A₁CD的法向量

所以， 

又二面角B-A₁C-D為鈍角，故值是.

（也可以通過證明B₁A平面A₁BC寫出平面A₁BC的法向量）

 

⑵ 根據(jù)題意有，若線段A₁C上存在一點P滿足要求，不妨，可得

 即：

解得：         

即只有當?shù)酌嫠倪呅问钦�方形時才有符合要求的點P，位置是線段A₁C上處.