Question

已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，橢圓右焦點，且

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）若直線：與橢圓相交于，兩點（都不是頂點），且以為直徑

的圓過橢圓的右頂點，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標．

 

Answer 1

（1） （2）或

【解析】

試題分析：（1）設(shè)橢圓的方程，用待定系數(shù)法求出的值；（2）解決直線和橢圓的綜合問題時注意：第一步：根據(jù)題意設(shè)直線方程，有的題設(shè)條件已知點，而斜率未知；有的題設(shè)條件已知斜率，點不定，可由點斜式設(shè)直線方程.第二步：聯(lián)立方程：把所設(shè)直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去一個元，得到一個一元二次方程.第三步：求解判別式：計算一元二次方程根.第四步：寫出根與系數(shù)的關(guān)系.第五步：根據(jù)題設(shè)條件求解問題中結(jié)論.

試題解析：（Ⅰ）由題意設(shè)橢圓的標準方程為，

由已知得：且，

∴，∴．

∴橢圓的標準方程為．

（Ⅱ）設(shè)，，

聯(lián)立 得，

又，

因為以為直徑的圓過橢圓的右頂點，

∴，即，

∴，

∴，

∴．

解得：或

∴直線l過點或點（舍）

考點：（1）橢圓的方程； （2）直線與橢圓的綜合問題.