Question

如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，

    BP＝BC，E為PC的中點．

   （1）求證：AP∥平面BDE；

   （2）求證：BE⊥平面PAC．

 

Answer 1

證：（1）設AC∩BD＝O，連結OE．

因為ABCD為矩形，所以O是AC的中點．

因為E是PC中點，所以OE∥AP．                 

因為AP平面BDE，OE平面BDE，

所以AP∥平面BDE．                       

（2）因為平面PAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，平面PAB∩平面ABCD＝AB，

所以BC⊥平面PAB．                              

因為AP平面PAB，所以BC⊥PA．

因為PB⊥PA，BC∩PB＝B，BC，PB平面PBC，

所以PA⊥平面PBC．                           

因為BE平面PBC，所以PA⊥BE．

因為BP＝PC，且E為PC中點，所以BE⊥PC．

因為PA∩PC＝P，PA，PC平面PAC，

所以BE⊥平面PAC．