設(shè)I={1,2,3…,199},A={a1,a2,a3,…a100}?I,且A中元素滿足:對(duì)任何1≤i<j≤100,恒有ai+aj≠200.
(1)試說(shuō)明:集合A的所有元素之和必為偶數(shù);
(2)如果a1+a2+a3+…a100=10002,試求a12+a22+a32+…a1002的值.
考點(diǎn):數(shù)列的求和
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)根據(jù)集合A的元素的特點(diǎn),分析A中的所有元素奇數(shù)和偶數(shù)的個(gè)數(shù)即可得到答案;
(2)由集合A中元素的特點(diǎn),結(jié)合集合ai,aj的關(guān)系,欲求a12+a22+a32+…a1002,因?yàn)椋╝12+a22+a32+…+a1002)-(b1+b2…+b992
=(a12-b12)+(a 22-b22)+…+(a992-b992)+a 1002,再進(jìn)行求解.
解答: 解:(1)將集合I={1,2,3…,199}的所有元素分組為{1,199}、{2,198}、…、{99,101}、{100},共100組;由已知得,集合A的100個(gè)元素只能從以上100個(gè)集合中各取一個(gè)元素組成.
∵以上100個(gè)集合中,奇數(shù)同時(shí)出現(xiàn),且含奇數(shù)的集合共50個(gè),
∴集合A的所有元素之和必為偶數(shù).
(2)不妨設(shè)a1,a2…,a99為依次從以上前99個(gè)集合中選取的元素,a100=100,
且記各集合的落選元素分別為b1,b2,…b99,則ai+bj=200,(i=1,2,…99)
由于12+22+32+…+n2=
n(n+1)(2n+1)
6

∴(a1+a2+a3+…+a100)+(b1+b2+…+b99)
=12+22+32+…+1992=
199(199+1)(2×199+1)
6
=2646700,…①
而∴(a1+a2+a3+…+a100)+(b1+b2+…+b99)=200×99=19800,
∴a1+a2+a3+…+a99=10002-100=9902,
∴b1+b2+…+b99=19800-9902=9898
∴(a12+a22+a32+…+a1002)-(b12+b22+…+b992
=(a12-b12)+(a 22-b22)+…+(a992-b992)+a 1002
=(a1+b1)(a1-b1)+(a2+b2)(a2-b2)+…+(a99+b99)(a99-b99)+a1002
=200[(a1+a2+…+a99)-(b1+b2+…+b99)]+10000
=200(9902-9898)+10000=10800      …②
由①②得:(a12+a22…+a1002)=1328750.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查集合的新定義和數(shù)列的求和,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知向量
a
,
b
滿足|
a
|=|
b
|=1,且|
a
+k
b
|=
3
|
a
-
b
|(k<0),
(1)試用k表示
a
b
,并求出
a
b
的最大值及此時(shí)
a
b
的夾角θ的值;
(2)當(dāng)
a
b
取最大值時(shí),求實(shí)數(shù)λ,使|λ
a
b
|的值最小.

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A、x1+x2=4
B、x1+x2<4
C、x1+x2>4
D、x1+x2的值與4的大小無(wú)確定

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A、-
9
8
B、
9
8
C、-6
D、6

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函數(shù)f(x)=
2x
x+1
在[1,2]的最大值和最小值分別是(  )
A、
4
3
,1
B、1,0
C、
4
3
,
2
3
D、1,
2
3

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兩條直線2x-y+k=0和4x-2y+1=0的位置關(guān)系是(  )
A、平行B、相交
C、重合D、平行或重合

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