Question

【題目】已知函數(shù)（a為常數(shù)）與x軸有唯一的公共點A．

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）曲線在點A處的切線斜率為，若存在不相等的正實數(shù)，，滿足，證明：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合單調(diào)性求出f（x）的最小值，從而確定a的范圍；
（Ⅱ）求出a的值，不妨設(shè)x1＜x2，則0＜x1＜1＜x2，得到(x121+3lnx1)＝x221+3lnx2，令p（t）=2t+3lnt-2，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

（Ⅰ）因為函數(shù)的定義域為，且，

故由題意可知曲線與x軸存在公共點，又，則有

當時，，函數(shù)在定義域上遞增，滿足條件；

當時，函數(shù)在上遞減，在上遞增，

①若時，則，取，則，

故由零點存在定理可知，函數(shù)在上還有一個零點，因此不符合題意；

②若，則函數(shù)的極小值為，符合題意；

③若，則由函數(shù)的單調(diào)性，有，取，有．

下面研究函數(shù)

，，因為恒成立，故函數(shù)在上遞增．故，故成立，函數(shù)在區(qū)間上存在零點，不符合題意．

綜上所述：

當時，函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；

當時，函數(shù)的遞增區(qū)間為，無遞減區(qū)間．

（Ⅱ）容易知道函數(shù)在處的切線斜率為，得，

由（Ⅰ）可知，且函數(shù)在區(qū)間上遞增．

不妨設(shè)，因為，則，

則有，整理得，

由基本不等式得，故，整理，即．

由函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即．