Question

【題目】已知為坐標原點，橢圓的左，右焦點分別為，，點又恰為拋物線的焦點，以為直徑的圓與橢圓僅有兩個公共點．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若直線與相交于，兩點，記點，到直線的距離分別為，，．直線與相交于，兩點，記，的面積分別為，．

（ⅰ）證明：的周長為定值；

（ⅱ）求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）詳見解析；（ii）．

【解析】

（1）由已知求得，可得，又以為直徑的圓與橢圓僅有兩個公共點，知，從而求得與的值，則答案可求；

（2）由題意，為拋物線的準線，由拋物線的定義知，，結合，可知等號當且僅當，，三點共線時成立．可得直線過定點，根據橢圓定義即可證明為定值；

若直線的斜率不存在，則直線的方程為，求出與可得；若直線的斜率存在，可設直線方程為，，，，，，，，，方便聯(lián)立直線方程與拋物線方程，直線方程與橢圓方程，利用弦長公式求得，，可得，由此可求的最大值．

解：（1）因為為拋物線的焦點，故

所以

又因為以為直徑的圓與橢圓僅有兩個公共點知：

所以，

所以橢圓的標準方程為：

（2）（�。┯深}知，因為為拋物線的準線

由拋物線的定義知：

又因為，等號當僅當，，三點共線時成立

所以直線過定點

根據橢圓定義得：

（ⅱ）若直線的斜率不存在，則直線的方程為

因為，，所以

若直線的斜率存在，則可設直線，設，

由得，

所以，

設，，

由得，

則，

所以

則

綜上知：的最大值等于