【題目】已知為坐標原點,橢圓
的左,右焦點分別為
,
,
點又恰為拋物線
的焦點,以
為直徑的圓與橢圓
僅有兩個公共點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若直線與
相交于
,
兩點,記點
,
到直線
的距離分別為
,
,
.直線
與
相交于
,
兩點,記
,
的面積分別為
,
.
(ⅰ)證明:的周長為定值;
(ⅱ)求的最大值.
【答案】(1);(2)(i)詳見解析;(ii)
.
【解析】
(1)由已知求得,可得
,又以
為直徑的圓與橢圓
僅有兩個公共點,知
,從而求得
與
的值,則答案可求;
(2)由題意,
為拋物線
的準線,由拋物線的定義知,
,結合
,可知等號當且僅當
,
,
三點共線時成立.可得直線
過定點
,根據橢圓定義即可證明
為定值;
若直線
的斜率不存在,則直線
的方程為
,求出
與
可得
;若直線
的斜率存在,可設直線方程為
,
,
,
,
,
,
,
,
,方便聯(lián)立直線方程與拋物線方程,直線方程與橢圓方程,利用弦長公式求得
,
,可得
,由此可求
的最大值.
解:(1)因為為拋物線
的焦點,故
所以
又因為以為直徑的圓與橢圓
僅有兩個公共點知:
所以,
所以橢圓的標準方程為:
(2)(。┯深}知,因為為拋物線
的準線
由拋物線的定義知:
又因為,等號當僅當
,
,
三點共線時成立
所以直線過定點
根據橢圓定義得:
(ⅱ)若直線的斜率不存在,則直線
的方程為
因為,
,所以
若直線的斜率存在,則可設直線
,設
,
由得,
所以,
設,
,
由得,
則,
所以
則
綜上知:的最大值等于
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】2019年12月1日起鄭州市施行《鄭州市城市生活垃圾分類管理辦法》,鄭州將正式進入城市生活垃圾分類時代.為了增強社區(qū)居民對垃圾分類知識的了解,積極參與到垃圾分類的行動中,某社區(qū)采用線下和線上相結合的方式開展了一次200名轄區(qū)成員參加的“垃圾分類有關知識”專題培訓.為了了解參訓成員對于線上培訓、線下培訓的滿意程度,社區(qū)居委會隨機選取了40名轄區(qū)成員,將他們分成兩組,每組20人,分別對線上、線下兩種培訓進行滿意度測評,根據轄區(qū)成員的評分(滿分100分)繪制了如圖所示的莖葉圖.
(1)根據莖葉圖判斷轄區(qū)成員對于線上、線下哪種培訓的滿意度更高,并說明理由.
(2)求這40名轄區(qū)成員滿意度評分的中位數,并將評分不超過
、超過
分別視為“基本滿意”“非常滿意”兩個等級.
(ⅰ)利用樣本估計總體的思想,估算本次培訓共有多少轄區(qū)成員對線上培訓非常滿意;
(ⅱ)根據莖葉圖填寫下面的列聯(lián)表.
基本滿意 | 非常滿意 | 總計 | |
線上培訓 | |||
線下培訓 | |||
總計 |
并根據列聯(lián)表判斷能否有99.5%的把握認為轄區(qū)成員對兩種培訓方式的滿意度有差異?
附:
0.010 | 0.005 | 0.001 | |
6.635 | 7879 | 10.828 |
,其中
.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】在銳角△ABC中,a=2,_______,求△ABC的周長l的范圍.
在①(﹣cos
,sin
),
(cos
,sin
),且
,②cosA(2b﹣c)=acosC,③f(x)=cosxcos(x
)
,f(A)
注:這三個條件中任選一個,補充在上面問題中并對其進行求解.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】橢圓:
中,
,
,
,
的面積為1,
.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設是橢圓
上一點,
、
是橢圓的左右兩個焦點,直線
、
分別交
于
、
,是否存在點
,使
,若存在,求出
點的橫坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,直線
的傾斜角為
,且經過點
,以坐標原點O為極點,
軸正半軸為極軸建立極坐標系,直線
,從原點O作射線交
于點M,點N為射線OM上的點,滿足|
,記點N的軌跡為曲線C.
(1)①設動點,記
是直線
的向上方向的單位方向向量,且
,以t為參數求直線
的參數方程
②求曲線C的極坐標方程并化為直角坐標方程;
(2)設直線與曲線C交于P,Q兩點,求
的值
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】2021年開始,我省將試行“3+1+2“的普通高考新模式,即除語文、數學、外語3門必選科目外,考生再從物理、歷史中選1門,從化學、生物、地理、政治中選2門作為選考科目.為了幫助學生合理選科,某中學將高一每個學生的六門科目綜合成績按比例均縮放成5分制,繪制成雷達圖.甲同學的成績雷達圖如圖所示,下面敘述一定不正確的是( 。
A.甲的物理成績領先年級平均分最多
B.甲有2個科目的成績低于年級平均分
C.甲的成績從高到低的前3個科目依次是地理、化學、歷史
D.對甲而言,物理、化學、地理是比較理想的一種選科結果
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