已知a和b是任意非零實數(shù).
(1)求證
|2a+b|+|2a-b|
|a|
≥4

(2)若不等式|a+b|+|a-b|≥|a(|2+x|+|2-x|)恒成立,求實數(shù)x的取值范圍.
考點:絕對值不等式的解法
專題:不等式的解法及應用
分析:(1)利用絕對值三角不等式,可證得
|2a+b|+|2a-b|
|a|
=|2+
b
a
|+|2-
b
a
|≥|(2+
b
a
)+(2-
b
a
)|=4;
(2)利用絕對值三角不等式
|a+b|+|a-b|
|a|
|a+b+a-b|
|a|
=2,于是可得|2+x|+|2-x|≤2,解之即可.
解答: (1)證明:
|2a+b|+|2a-b|
|a|
=|
2a+b
a
|+|
2a-b
a
|=|2+
b
a
|+|2-
b
a
|≥|(2+
b
a
)+(2-
b
a
)|=4;
(2)解:由|a+b|+|a-b|≥|a|(|2+x|+|2-x|)恒成立,得
|a+b|+|a-b|
|a|
≥(|2+x|+|2-x|)恒成立,
又因為
|a+b|+|a-b|
|a|
|a+b+a-b|
|a|
=2,
所以,|2+x|+|2-x|≤2,
又|2+x|+|2-x|≥|(2+x)+(2-x)|=4,
∴|2+x|+|2-x|≤2的解集為∅.
點評:本題考查絕對值三角不等式的解法,著重考查等價轉(zhuǎn)化思想與運算求解能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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已知曲線C1的極坐標方程為ρcos(θ-
π
3
)=-1,曲線C2的極坐標方程為ρ=2
2
cos(θ-
π
4
).以極點為坐標原點,極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標系.
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(2)求曲線C2上的動點M到曲線C1的距離的最大值.

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x=-1+
3
t
y=t
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PM2.5日均值m(微克/立方米)空氣質(zhì)量等級
m<35一級
35≤m≤75二級
m>75超標
某市環(huán)保局從180天的市區(qū)PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中,隨機抽取l0天的數(shù)據(jù)作為樣本,監(jiān)測值如莖葉圖所示(十位為莖,個位為葉).
(Ⅰ)求這10天數(shù)據(jù)的中位數(shù).
(Ⅱ)從這l0天的數(shù)據(jù)中任取3天的數(shù)據(jù),記ξ表示空氣質(zhì)量達到一級的天數(shù),求ξ的分布列;
(Ⅲ)以這10天的PM2.5日均值來估計這180天的空氣質(zhì)量情況,記η為這180天空氣質(zhì)量達到一級的天數(shù),求η的均值.

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若雙曲線x2+
y2
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2
,則實數(shù)k的值是
 

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