Question

如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，點(diǎn)P為DD₁的中點(diǎn)．
（1）求證：直線BD₁∥平面PAC；
（2）求證：平面PAC⊥平面BDD₁B₁；
（3）求CP與平面BDD₁B₁所成的角大�。�

Answer 1

分析：（1）設(shè)AC和BD交于點(diǎn)O，由三角形的中位線的性質(zhì)可得PO∥BD₁，從而證明直線BD₁∥平面PAC．
（2）證明AC⊥BD，DD₁⊥AC，可證AC⊥面BDD₁B₁，進(jìn)而證得平面PAC⊥平面BDD₁B₁ ．
（3）CP在平面BDD₁B₁內(nèi)的射影為OP，故∠CPO是CP與平面BDD₁B₁所成的角，在Rt△CPO中，利用邊角關(guān)系求得∠CPO的大小．

解答：解：（1）證明：設(shè)AC和BD交于點(diǎn)O，連PO，由P，O分別是DD₁，BD的中點(diǎn)，故PO∥BD₁，
∵PO?平面PAC，BD₁?平面PAC，所以，直線BD₁∥平面PAC．
（2）長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，底面ABCD是正方形，則AC⊥BD，又DD₁⊥面ABCD，則DD₁⊥AC．
∵BD?平面BDD₁B₁，D₁D?平面BDD₁B₁，BD∩D₁D=D，∴AC⊥面BDD₁B₁．∵AC?平面PAC，∴平面PAC⊥平面BDD₁B₁ ．
（3）由（2）已證：AC⊥面BDD₁B₁，∴CP在平面BDD₁B₁內(nèi)的射影為OP，∴∠CPO是CP與平面BDD₁B₁所成的角．
依題意得CP=

CD2+DP2

=

2

，CO=

1

2

AC=

2

2

，在Rt△CPO中，CO=

1

2

CP，∴∠CPO=30°
∴CP與平面BDD₁B₁所成的角為30°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查證明線面平行、面面垂直的方法，求直線和平面所稱的角的大小，找出直線和平面所成的角是解題的難點(diǎn)，屬于中檔題．