Question

已知函數(shù)f（x）=ax+

a-1

x

-lnx+1（a∈R）．
（1）討論f（x）的單調(diào)性
（2）當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，若不等式f（x）＜1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）求出f′（x）=

ax2-x-a+1

x2

．根據(jù)a的值進(jìn)行分解討論．
（2）分類得出f（x）_max＜1，根據(jù)（1）中得出當(dāng)a≤

1

2

時(shí)，只需f（1）≤1；②當(dāng)a≥1時(shí)，③當(dāng)

1

2

＜a＜1都不符合恒成立，總結(jié)出a的取值范圍．

解答： 解：（1）f′（x）=

ax2-x-a+1

x2

．
當(dāng)a=0時(shí)f′（x）=

1-x

x2

，
∴f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)a≠0時(shí)，f′（x）=

a(x-1)(x- 1-a a )

x2

當(dāng)a＜0時(shí)，

1-a

a

＜0，
∴f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)0＜a＜

1

2

，

1-a

a

＞1∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，

1-a

a

）上單調(diào)遞減，在[

1-a

a

，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a=

1

2

，∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；
當(dāng)

1

2

＜a＜1時(shí)，0＜

1-a

a

＜1，∴f（x）在（0，

1-a

a

）上單調(diào)遞增，
在（

1-a

a

，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)a≥1時(shí)，

1-a

a

＜0，∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
（2）當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，若不等式f（x）＜1恒成立，
∵通過（1）可知，①，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，
∴只需f（1）≤1，即a+a-1-ln1+1≤1，a≤

1

2

，
②當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，不可能恒成立，
③當(dāng)

1

2

＜a＜1時(shí)，f（x）在（0，

1-a

a

）上單調(diào)遞增，在（

1-a

a

，1）上單調(diào)遞減，
f（x）_max=1-a-

1

a

-ln

1-a

a

，如果a→1時(shí)f（x）_max=1-a-

1

a

-ln

1-a

a

＞0
∴不符合題意，
綜上：當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，若不等式f（x）＜1恒成立，實(shí)數(shù)a的取值范圍：a≤

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，關(guān)鍵是怎樣分類討論，把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的比較，思維量大，屬于難題．