Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）是否存在正數(shù)x₁，x₂，且|x₁-x₂|≥1，使得f（x₁）=f（x₂）．若存在，求出x₁，x₂的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可寫出單調(diào)區(qū)間；
（2）可以用反證法，假設存在，不妨令x₁＜x₂，則由f（x₁）=f（x₂）得，x₁lnx₁=x₂lnx₂，即x₂lnx₂-x₁lnx₁=0，x₂（lnx₂-lnx₁）＜0，即ln

x2

x1

＜0，故

x2

x1

＜1，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f（x）=xlnx，定義域為（0，+∞），
∴f′（x）=lnx+1，
∴由f′（x）＞0得，x＞

1

e

，由f′（x）＜0得，0＜x＜

1

e

，
∴f（x）=xlnx的單調(diào)遞增區(qū)間是（

1

e

，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，

1

e

）．
（2）不存在．
假設存在正數(shù)x₁，x₂，且|x₁-x₂|≥1，使得f（x₁）=f（x₂），不妨令x₁＜x₂，則由f（x₁）=f（x₂）得，
x₁lnx₁=x₂lnx₂，即x₂lnx₂-x₁lnx₁=0，
∴x₂（lnx₂-lnx₁）＜0，即ln

x2

x1

＜0，
∴

x2

x1

＜1，即x₂＜x₁，這與|x₁-x₂|≥1相矛盾，
故不存在正數(shù)x₁，x₂，且|x₁-x₂|≥1，使得f（x₁）=f（x₂）．

點評：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等知識，注意反證法的合理應用，屬于中檔題．