【題目】已知函數(shù)的極大值為16,極小值為-16.
(1)求和
的值;
(2)若過點可作三條不同的直線與曲線
相切,求實數(shù)
的取值范圍.
【答案】(1),
; (2)
.
【解析】
(1)求出導函數(shù),確定極大值和極小值,由題意可求得
;
(2)設(shè)切點,切線方程為
,即
,由切線過點
,得
,
從而此方程有3個實數(shù)根,問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)有3個零點,再由導數(shù)研究
的極大值和極小值可得出結(jié)論.
(1)函數(shù),
.
可得:函數(shù)在
,
上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減.
∴時函數(shù)
取得極大值16,
時函數(shù)
取得極小值-16.
∴,
,
聯(lián)立解得:,
,
(2)由(1)可知,設(shè)切點
,
則切線方程為,即
,
因為切線過點,所以
,
由于有3條切線,所以方程有3個實數(shù)根,
設(shè),則只要使
有3個零點,
令,解得
或
,
當,
時,
,
單調(diào)遞增;
當時,
,
單調(diào)遞減,
所以時,
取極大值,
時,
取極小值,
所以要是曲線與
軸有3個交點,當且僅當
,即
,
解得,即實數(shù)
的取值范圍為
.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】金石文化,是中國悠久文化之一.“金”是指“銅”,“石”是指“石頭”,“金石文化”是指在銅器或石頭上刻有文字的器件.在一千多年前,有一種凸多面體工藝品,是金石文化的代表作,此工藝品的三視圖是三個全等的正八邊形(如圖),若一個三視圖(即一個正八邊形)的面積是,則該工藝品共有______個面,表面積是______.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) 。
(1)當時,討論
的單調(diào)性;
(2)若在點
處的切線方程為
,若對任意的
恒有,求
的取值范圍(
是自然對數(shù)的底數(shù))。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知動圓過定點
,且與定直線
相切.
(1)求動圓圓心的軌跡
的方程;
(2)過點的任一條直線
與軌跡
交于不同的兩點
,試探究在
軸上是否存在定點
(異于點
),使得
?若存在,求點
的坐標;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】司機在開機動車時使用手機是違法行為,會存在嚴重的安全隱患,危及自己和他人的生命. 為了研究司機開車時使用手機的情況,交警部門調(diào)查了名機動車司機,得到以下統(tǒng)計:在
名男性司機中,開車時使用手機的有
人,開車時不使用手機的有
人;在
名女性司機中,開車時使用手機的有
人,開車時不使用手機的有
人.
(1)完成下面的列聯(lián)表,并判斷是否有
的把握認為開車時使用手機與司機的性別有關(guān);
開車時使用手機 | 開車時不使用手機 | 合計 | |
男性司機人數(shù) | |||
女性司機人數(shù) | |||
合計 |
(2)以上述的樣本數(shù)據(jù)來估計總體,現(xiàn)交警部門從道路上行駛的大量機動車中隨機抽檢3輛,記這3輛車中司機為男性且開車時使用手機的車輛數(shù)為,若每次抽檢的結(jié)果都相互獨立,求
的分布列和數(shù)學期望
.
參考公式與數(shù)據(jù):
參考數(shù)據(jù):
參考公式
span>,其中
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線:
上一點
到焦點的距離為4,動直線
交拋物線
于坐標原點O和點A,交拋物線
的準線于點B,若動點P滿足
,動點P的軌跡C的方程為
.
(1)求出拋物線的標準方程;
(2)求動點P的軌跡方程;
(3)以下給出曲線C的四個方面的性質(zhì),請你選擇其中的三個方面進行研究:①對稱性;②范圍;③漸近線;④時,寫出由
確定的函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面
為正方形,
底面
,
,
為線段
的中點.
(1)若為線段
上的動點,證明:平面
平面
;
(2)若為線段
,
,
上的動點(不含
,
),
,三棱錐
的體積是否存在最大值?如果存在,求出最大值;如果不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】對任意正整數(shù),若存在數(shù)列
,滿足
,其中
,則稱數(shù)列
為正整數(shù)
的生成數(shù)列,記為
.
(1)寫出2018的生成數(shù)列;
(2)求證:對任意正整數(shù),存在唯一的生成數(shù)列
;
(3)求生成數(shù)列的所有項的和.
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