Question

已知圓C：x²＋y²－2x＋4y－4＝0，問是否存在斜率為1的直線l，使l被圓C截得的弦為AB，以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，若存在，寫出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：依題意，設(shè)l的方程為y＝x＋b①

x²＋y²－2x＋4y－4＝0②

聯(lián)立①②消去y得：

2x²＋2(b＋1)x＋b²＋4b－4＝0，

設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，則有

③

∵以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，

∴，即x₁x₂＋y₁y₂＝0，

而y₁y₂＝(x₁＋b)(x₂＋b)＝x₁x₂＋b(x₁＋x₂)＋b²

∴2x₁x₂＋b(x₁＋x₂)＋b²＝0，

由③得b²＋4b－4－b(b＋1)＋b²＝0，

即b²＋3b－4＝0，∴b＝1或b＝－4，

∴滿足條件的直線l存在，其方程為

x－y＋1＝0或x－y－4＝0.