Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

（1）求拋物線方程；

（2）過(guò)直線上一點(diǎn)作拋物線的切線切點(diǎn)為A，B

①設(shè)直線PA、AB、PB的斜率分別為，求證：成等差數(shù)列；

②若以切點(diǎn)B為圓心r為半徑的圓與拋物線C交于D，E兩點(diǎn)且D，E關(guān)于直線AB對(duì)稱，求點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①證明見(jiàn)解析；②.

【解析】

（1）根據(jù)焦點(diǎn)求出p即可寫(xiě)出拋物線方程；（2）①設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義用、表示出、，再用、表示出，由即可證明；②求出直線AP、直線BP的方程，聯(lián)立求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)P，由點(diǎn)P在直線上進(jìn)一步化簡(jiǎn)直線AP的方程，聯(lián)立拋物線方程與直線DE的方程得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)題意，再由點(diǎn)H在直線AB上將不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的不等式求解即可.

（1）由題意知，，拋物線方程為；

（2）①設(shè)，

因?yàn)?/span>，，所以，所以，，

則，，

所以，即成等差數(shù)列．

②直線AP的方程為，

同理直線BP的方程為，

則兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，

代入直線，得①，

直線AB的方程為，

①式代入上式可得，

因?yàn)?/span>，所以直線AB的方程為，

1）若則拋物線上不存在兩點(diǎn)關(guān)于直線AB對(duì)稱，

2）若，設(shè)為拋物線上關(guān)于直線AB對(duì)稱的兩點(diǎn)，

此時(shí)

設(shè)DE方程為，DE與直線AB交于點(diǎn)，

，

，，

所以，，

因?yàn)?/span>H點(diǎn)在直線AB上，

所以代入式得，解得．