Question

設(shè)函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上滿足以x=2，x=7為對稱軸，且在[0，7]上只有f（1）=f（3）=0，試求方程f（x）=0在[-2012，2012]根的個數(shù)為（ ）
A．803個
B．804個
C．805個
D．806個

Answer 1

【答案】分析：由函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上滿足以x=2，x=7為對稱軸，可以分析函數(shù)是以10為周期的周期函數(shù)，進而根據(jù)在[0，7]上只有f（1）=f（3）=0，分析出一個周期中函數(shù)有兩個零點，進而分析出函數(shù)在[-2012，2012]上零點的個數(shù)，最后根據(jù)在[-2012，2012]根的個數(shù)為函數(shù)f（x）零點個數(shù)得到答案．
解答：解：f（x）的對稱軸為x=2和x=7，
那么有：f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x）
推得f（4-x）=f（14-x）=f（x）
即f（x）=f（x+10），T=10
由f（4-x）=f（14-x）=f（x）
且閉區(qū)間[0，7]上只有f（1）=f（3）=0
得f（11）=f（13）=f（-7）=f（-9）=0   
即在[-10，0]和[0，10]函數(shù)各有兩個解
則方程f（x）=0在閉區(qū)間[0，2012]上的根為2×201+1=403個，
方程f（x）=0在閉區(qū)間[-2012，0]上的根為2×201=402個
得方程f（x）=0在閉區(qū)間[-2012，2012]上的根的個數(shù)為805個
故選C
點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數(shù)判斷，其中根據(jù)已知分析出函數(shù)的周期性是解答的關(guān)鍵．