Question

已知函數(shù)f(x)=x3+ax+b的圖象關于坐標原點對稱,且與x軸相切.

(1) 求a,b的值;

(2)是否存在實數(shù)m, n(mn>0),使函數(shù)g(x)=3-|f(x)|在區(qū)間[m,n]上的值域仍為區(qū)間[m,n]?請說明理由.

Answer 1

 (1) 因為曲線y=f(x)關于坐標原點對稱,所以f(x)+f(-x)= 0恒成立,

即x3+ax+b-x3-ax+b=0,于是b=0.

設函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸的切點坐標為(t,0),

則即解得t=0,a=0.

故a=b=0,f(x)=x3.

(2) g(x)=3-|f(x)|=假設存在m,n(mn>0)適合題意.

①當0<m<n時,因為g(x)=3-x3在區(qū)間[m,n]上是單調(diào)減函數(shù),

所以即

兩式相減,得m2+mn+n2=1.

因為0<m<n,所以n2<m2+mn+n2=1,于是0<m<n<1.

從而m3+n<13+1=2<3,與m3+n=3矛盾,故此時m,n不存在.

②當m<n<0時,因為g(x)=3+x3在區(qū)間[m,n]上是單調(diào)增函數(shù),

所以

于是m,n是方程g(x)=x(即x3-x+3=0)的兩個相異負根.

令h(x)=x3-x+3(x<0),則由h'(x)=3x2-1=0得x=-.

因為當x≤-時,h'(x)≥0,所以函數(shù)h(x)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù),從而函數(shù)h(x)在區(qū)間上至多有一個零點.

又因為當-<x<0時,h'(x)<0,

所以函數(shù)h(x)在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù),于是h(x)>h(0)=3>0,

所以函數(shù)h(x)在區(qū)間上沒有零點.

故此時m,n不存在.

綜上所述,不存在實數(shù)m,n(mn>0),使函數(shù)g(x)=3-|f(x)|的定義域與值域均為區(qū)間[m,n].