Question

在平面直角坐標系xOy中，O是坐標原點，設函數(shù)f(x)＝k(x－2)＋3的圖象為直線l，且l與x軸、y軸分別交于A、B兩點，探究正實數(shù)m取何值時，使△AOB的面積為m的直線l僅有一條；僅有兩條；僅有三條；僅有四條.

Answer 1

顯然直線f(x)＝k(x－2)＋3與x軸、y軸的交點坐標分別為A(2－，0)，B(0,3－2k)；

當k＜0時，△AOB的面積為(2－)(3－2k)，依題意得，(2－)(3－2k)＝m，

即4k²－(12－2m)k＋9＝0.

又因為Δ＝[－(12－2m)]²－4×4×9，且m＞0，所以，m＝12時，k值唯一，此時直線l唯一；m＞12時，k值為兩個負值，此時直線l有兩條；

當k＞0時，△AOB的面積為－(2－)(3－2k)，依題意得，－(2－)(3－2k)＝m，即

4k²－(12＋2m)k＋9＝0，

又因為Δ＝[－(12＋2m)]²－4×4×9＝4m²＋48m，

且m＞0，所以Δ＞0，對于任意的m＞0，方程總有兩個不同的解且都大于零，此時有兩條直線；

綜上可知：不存在正實數(shù)m，使△AOB的面積為m的直線l僅有一條；當0＜m＜12時，直線l有兩條；當m＝12時，直線l有三條；當m＞12時，直線l有四條.