Question

設(shè)函數(shù).

(I )討論f(x)的單調(diào)性；

(II) ( i )若證明：當(dāng)x>6 時(shí)，

(ii)若方程f(x)=a有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）f¢(x)＝－e^－x[x²－(a＋2)x＋2a]＝－e^－x(x－2)(x－a)．      …1分

（1）若a＝2，則f¢(x)≤0，f(x)在(－∞，＋∞)單調(diào)遞減．           …2分

（2）若0≤a＜2，當(dāng)x變化時(shí)，f¢(x)、f(x)的變化如下表：

x	(－∞，a)	a	(a，2)	2	(2，＋∞)
f¢(x)	－	0	＋	0	－
f(x)	↘	極小值ae－a	↗	極大值(4－a)e－2	↘

此時(shí)f(x)在(－∞，a)和(2，＋∞)單調(diào)遞減，在(a，2)單調(diào)遞增．      …3分

（3）若a＞2，當(dāng)x變化時(shí)，f¢(x)、f(x)的變化如下表：

x	(－∞，2)	2	(2，a)	a	(a，＋∞)
f¢(x)	－	0	＋	0	－
f(x)	↘	極小值(4－a)e－2	↗	極大值ae－a	↘

此時(shí)f(x)在(－∞，2)和(a，＋∞)單調(diào)遞減，在(2，a)單調(diào)遞增．      …4分

（Ⅱ）（�。┤鬭＝0，則f(x)＝x²e^－x，f(x)＜即x³＜e^x．

當(dāng)x＞6時(shí)，所證不等式等價(jià)于x＞3lnx，

設(shè)g(x)＝x－3lnx，當(dāng)x＞6時(shí)，g¢(x)＝1－＞0，g(x)單調(diào)遞增，

有g(shù)(x)＞g(6)＝3(2－ln6)＞0，即x＞3lnx．

故當(dāng)x＞6時(shí)，f(x)＜．                                         …6分

（ⅱ）根據(jù)（Ⅰ），

（1）若a＝2，方程f(x)＝a不可能有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解．             …7分

 

 

【解析】略