Question

7、關于x的不等式|x-1|-|x-2|≤a²+a-3的解集是空集，則a的取值范圍是（　�。�

A、（0，1）

B、（-1，0）

C、（-2，1）

D、（-∞，-1）

Answer 1

分析：分析題目已知關于x的不等式|x-1|-|x-2|≤a²+a-3的解集是空集，即需要使得a²+a+1的最小值小于|x-1|-|x-2|的最小值即無解，故可設得f（x）=|x-1|-|x-2|，然后求其最小值，代入求解即可得到答案．

解答：解：設f（x）=|x-1|-|x-2|
當x＜1時，f（x）=-（x-1）+（x-2）=-1，
當x＞2，f（x）=（x-1）-（x-2）=1，
當1≤x≤2，f（x）=（x-1）+（x-2）=2x-3，故此時有-1≤f（x）=2x-3≤1．
綜上所述f（x）=|x-1|-|x-2|的最小值為-1，
要使得關于x的不等式|x-1|-|x-2|≤a²+a+1的解集是空集，
只要使得a²+a+1的最小值小于f（x）=|x-1|-|x-2|的最小值即可．
即a²+a-3≤-1，a²+a-2≤0解得-2≤a≤1，
故答案選擇C．

點評：此題主要考查絕對值不等式的解集問題，對于解是空集的含義就是不等式恒不成立，然后根據題意分析求解即可，題目有一定的技巧性，屬于中檔題目．