Question

若a＞0，使關(guān)于x的不等式|x-3|+|x-4|＜a在R上的解集不是空集，設(shè)a的取值集合是A；若不等式|x|＞bx（b∈R）的解集為（0，+∞），設(shè)實(shí)數(shù)b的取值集合是B，試求當(dāng)x∈A∪B時(shí)，f（x）=2^|x+1|-|x-1|的值域．

Answer 1

分析：利用不等式的性質(zhì)對(duì)|x-3|+|x-4|進(jìn)行放縮和分類(lèi)討論，求出|x-3|-|x-4|的最小值，即可求a的取值集合，根據(jù)不等式|x|＞bx，分兩種情況進(jìn)行討論，根據(jù)其解集為（0，+∞），求出b的范圍，根據(jù)交集運(yùn)算法則，求出A∪B，去掉絕對(duì)值求出f（x）的值域；

解答：解：|x-3|+|x-4|的幾何意義是數(shù)軸上的點(diǎn)x 到3和4的距離之和，
當(dāng)x在3、4之間時(shí)，這個(gè)距離和最小為是1，其它情況都大于1
所以|x-3|+|x-4|≥1
如果使關(guān)于x的不等式|x-3|+|x-4|＜a在R上的解集不是空集，所以 a＞1，
∴A={a|a＞1}；
不等式|x|＞bx（b∈R）的解集為（0，+∞），
當(dāng)x＞0時(shí)，x-bx＞0，即x（1-b）＞0，∴1-b＞0，∴b＜1；
當(dāng)x＜0時(shí)，-x-bx＞0，即x（1+b）＜0，∴1+b＞0，∴b＞-1，
∵不等式|x|＞bx（b∈R）的解集為（0，+∞），說(shuō)明x＜0時(shí)x無(wú)解，得b≤-1，
綜上：b＜-1；B={b|b≤-1}
∴A∪B={a|a＞1}∪{b|b≤-1}；
∵f（x）=2^|x+1|-|x-1|，
當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=2^x+1-x+1，f（x）為單調(diào)增函數(shù)，f（x）＞f（1）=4；
當(dāng)x≤-1時(shí)，f（x）=2^-x-1+x-1，f′（x）=-

ln2

2x+1

+1＜0，f（x）為減函數(shù)，f（x）≥f（-1）=-1；
∴綜上：當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞4；當(dāng)x＜-1時(shí)，f（x）≥-1；

點(diǎn)評(píng)：此題考查絕對(duì)值不等式的求解問(wèn)題及函數(shù)的恒成立問(wèn)題，這類(lèi)題目是高考的熱點(diǎn)，難度不是很大，考查分段函數(shù)的性質(zhì)，此題考查的知識(shí)點(diǎn)比較多，是一道難題；