Question

已知函數(shù)f（x）=x|x+a|-

1

2

lnx，若f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)換，利用參數(shù)分離法，利用函數(shù)的最值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），由f（x）＞0，
得|x+a|＞

lnx

2x

，
①當(dāng)0＜x＜1，|x+a|≥0，

lnx

2x

＜0，不等式恒成立，∴a∈R
②當(dāng)x=1時(shí)，|1+a|≥0，

lnx

2x

=0，此時(shí)a≠-1，
③當(dāng)x＞1時(shí)，不等式等價(jià)為a＞-x+

lnx

2x

或a＜-x-

lnx

2x

恒成立，
設(shè)g（x）=-x+

lnx

2x

，則g′(x)=-1+

1 x •2x-2lnx

4x2

=-1+

1-lnx

2x2

=

1-lnx-2x2

2x2

，
當(dāng)x＞1時(shí)，g'（x）＜0，即函數(shù)g（x）在x≥1上單調(diào)遞減，
∴g（x）＜g（1）=-1，
∴此時(shí)a≥-1．
設(shè)h（x）=-x-

lnx

2x

，則h′(x)=-1-

1 x •2x-2lnx

4x2

=-1-

1-lnx

2x2

=

-2x2-1+lnx

2x2

，
當(dāng)x＞1時(shí)，g'（x）＜0，即函數(shù)g（x）在x≥1上單調(diào)遞減，
∴此時(shí)g（x）取最小值．
綜上a＞-1．
即a的取值范圍是（-1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式恒成立的解法，利用參數(shù)分離法是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，難度比較大．