Question

10．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2．
（Ⅰ）證明：不論t為何值，直線l與曲線C恒有兩個(gè)公共點(diǎn)；
（Ⅱ）以α為參數(shù)，求直線l與曲線C相交所得弦AB的中點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由曲線C的極坐標(biāo)方程求出曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=4，直線l的參數(shù)方程代入x²+y²=4，得：t²+2tcosα-3=0，由此利用根的判別式能證明不論t為何值，直線l與曲線C恒有兩個(gè)公共點(diǎn)．
（Ⅱ）設(shè)直線l與曲線C的交點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，弦AB的中點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t₀，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得${t}_{0}=\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{2}=-cosα$，代入$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$中，能求出弦AB的中點(diǎn)的軌跡方程，由此能求出弦AB的中點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程．

解答 證明：（Ⅰ）∵曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=4，
直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入x²+y²=4，
得：t²+2tcosα-3=0，（*）
由△=（2cosα）²-4×（-3）＞0，
知方程（*）恒有兩個(gè)不相等實(shí)根，
故不論t為何值，直線l與曲線C恒有兩個(gè)公共點(diǎn)．
解：（Ⅱ）設(shè)直線l與曲線C的交點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，
弦AB的中點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t₀，
則由（*）可知：${t}_{0}=\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{2}=-cosα$，
代入$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$中，
整理得弦AB的中點(diǎn)的軌跡方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1-co{s}^{2}α}\\{y=-sinαcosα}\end{array}\right.$，
∴弦AB的中點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1-cos2α}{2}}\\{y=-\frac{1}{2}sin2α}\end{array}\right.$，（α為參數(shù)）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與曲線恒有兩個(gè)公共點(diǎn)的證明，考查弦的中點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程的求法，考查極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互化等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．