Question

【題目】已知拋物線與雙曲線有公共焦點(diǎn)，點(diǎn)是曲線在第一象限的交點(diǎn)，且．

（Ⅰ）求雙曲線的方程；

（Ⅱ）以雙曲線的另一焦點(diǎn)為圓心的圓與直線相切，圓．過點(diǎn)作互相垂直且分別與圓、圓相交的直線和，設(shè)被圓截得的弦長為，被圓截得的弦長為，問：是否為定值？如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（I）；（II）是定值．

【解析】

試題（1）先利用拋物線的定義求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后將點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入拋物線的方程并結(jié)合點(diǎn)所在的象限得到點(diǎn)的坐標(biāo)，先計(jì)算出的長度，然后利用雙曲線的定義計(jì)算出的值，由確定的值，從而得到雙曲線的方程；（2）對(duì)直線的斜率存在與否分兩種情況討論，對(duì)直線的斜率不存在時(shí)進(jìn)行驗(yàn)證，在直線的斜率存在時(shí)，先假設(shè)直線的方程，然后根據(jù)直線與的位置關(guān)系得到直線的方程，并求出圓心到兩直線的距離，根據(jù)圓的半徑長、直線截圓的弦長和圓心距三者之間的關(guān)系求出兩直線截圓的弦長、，并進(jìn)行驗(yàn)證是否為定值.

試題解析：（1）∵拋物線的焦點(diǎn)為，

∴雙曲線的焦點(diǎn)為、， 1分

設(shè)在拋物線上，且，

由拋物線的定義得，，∴，∴，∴， 3分

∴， 4分

又∵點(diǎn)在雙曲線上，由雙曲線定義得：

，∴， ∴雙曲線的方程為：． 6分

（2）為定值．下面給出說明．

設(shè)圓的方程為：， ∵圓與直線相切，

∴圓的半徑為，故圓：． 7分

顯然當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)不符合題意， 8分

設(shè)的方程為，即，

設(shè)的方程為，即，

∴點(diǎn)到直線的距離為，

點(diǎn)到直線的距離為， 10分

∴直線被圓截得的弦長， 11分

直線被圓截得的弦長， 12分

∴， 故為定值． 14分