Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+2bx+1．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）中的a，b是從區(qū)間[-1，3]中任取的兩個(gè)不同的整數(shù)，求f（x）為二次函數(shù)且存在零點(diǎn)的概率；
（Ⅱ）若a是從區(qū)間[1，3]中任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間[-2，2]中任取的一個(gè)數(shù)，求[f（1）-3]•[f（-1）-3]≤0的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：古典概型及其概率計(jì)算公式,幾何概型

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）a，b是從區(qū)間[-1，3]中任取的兩個(gè)不同的整數(shù)，基本事件有20個(gè)基本事件，設(shè)“f（x）為二次函數(shù)且存在零點(diǎn)“為事件A，f（x）=ax²+2bx+1為二次函數(shù)且存在零點(diǎn)，等價(jià)于b²≥a，且a≠0，事件A包含的基本事件有8個(gè)，由此能求出f（x）為二次函數(shù)且存在零點(diǎn)的概率．
（Ⅱ）設(shè)“[f（1）-3]•[f（-1）-3]≤0“為事件B，試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧（a，b）|

1≤a≤3 -2≤b≤2

}，構(gòu)成事件B的區(qū)域?yàn)閧（

(a+2b-2)(a-2b-2)≤0 1≤a≤3 -2≤b≤2

}，由此能求出[f（1）-3]•[f（-1）-3]≤0的概率．

解答： 解：（Ⅰ）∵a，b是從區(qū)間[-1，3]中任取的兩個(gè)不同的整數(shù)，
則基本事件為（-1，0），（-1，1），（-1，2），（-1，3），（0，-1），（0，1），（0，2），（0，3），（1，-1），（1，0），（1，2），（1，3），（2，-1），（2，0），（2，1），（2，3），（3，-1），（3，0），（3，1），（3，2），
其中第一個(gè)數(shù)表示a的取值，第二個(gè)數(shù)表示b的取值．共20個(gè)基本事件，
設(shè)“f（x）為二次函數(shù)且存在零點(diǎn)“為事件A，
f（x）=ax²+2bx+1為二次函數(shù)且存在零點(diǎn)，等價(jià)于b²≥a，且a≠0，
∴事件A包含的基本事件有：
（-1，0），（-1，1），（-1，2），（-1，3），（1，-1），（1，2），（1，3），（2，3），（3，2），共個(gè)，
∴f（x）為二次函數(shù)且存在零點(diǎn)的概率：p=

9

20

；
（Ⅱ）設(shè)“[f（1）-3]•[f（-1）-3]≤0“為事件B，
試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧（a，b）|

1≤a≤3 -2≤b≤2

}，
這是一個(gè)長(zhǎng)方形區(qū)域，面積為S=2×4=8，
構(gòu)成事件B的區(qū)域?yàn)閧（

(a+2b-2)(a-2b-2)≤0 1≤a≤3 -2≤b≤2

}，
這是一對(duì)對(duì)頂?shù)奈暹呅螀^(qū)域，如圖，
其面積為S_B=8-2×

1

2

×1×1=7，
∴[f（1）-3]•[f（-1）-3]≤0的概率為p′=

7

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意列舉法和幾何概型概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．