Question

16．已知矩陣A=$[\begin{array}{l}{2}&{-2}\\{0}&{1}\end{array}]$，設(shè)曲線C：（x-y）²+y²=1在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換下得到曲線C′，求C′的方程．

Answer 1

分析 設(shè)P（x₀，y₀）為曲線C上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換下得到點(diǎn)Q（x，y），利用$[\begin{array}{l}x\\ y\end{array}]=[{\begin{array}{l}2&{-2}\\ 0&1\end{array}}][\begin{array}{l}{x_0}\\{y_0}\end{array}]$，推出$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=\frac{x}{2}+y\\{y_0}=y\end{array}\right.$，然后求解曲線C′的方程．

解答 解：設(shè)P（x₀，y₀）為曲線C上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換下得到點(diǎn)Q（x，y），
則：$[\begin{array}{l}x\\ y\end{array}]=[{\begin{array}{l}2&{-2}\\ 0&1\end{array}}][\begin{array}{l}{x_0}\\{y_0}\end{array}]$，即$\left\{\begin{array}{l}x=2{x_0}-2{y_0}\\ y={y_0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=\frac{x}{2}+y\\{y_0}=y\end{array}\right.$，…（5分）
（注：用逆矩陣的方式求解同樣給分）
又${（{x_0}-{y_0}）^2}+{y_0}^2=4$，∴${（\frac{x}{2}+y-y）^2}+{y^2}=1$，即$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，
∴曲線C′的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查矩陣的變換，曲線方程的求法，考查計(jì)算能力．