【題目】設(shè)為正整數(shù),各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列
定義如下:
,
(1)若,寫(xiě)出
,
,
;
(2)求證:數(shù)列單調(diào)遞增的充要條件是
為偶數(shù);
(3)若為奇數(shù),是否存在
滿足
?請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1),
,
;(2)證明見(jiàn)解析;(3)存在,理由見(jiàn)解析.
【解析】
(1)時(shí),結(jié)合條件,注意求得
,
,
;
(2)根據(jù)與零的關(guān)系,判斷數(shù)列
單調(diào)遞增的充要條件;
(3)存在滿足
.
(1),
,
.
(2)先證“充分性”.
當(dāng)為偶數(shù)時(shí),若
為奇數(shù),則
為奇數(shù).
因?yàn)?/span>為奇數(shù),所以歸納可得,對(duì)
,
均為奇數(shù),則
,
所以,
所以數(shù)列單調(diào)遞增.
再證“必要性”.
假設(shè)存在使得
為偶數(shù),則
,與數(shù)列
單調(diào)遞增矛盾,
因此數(shù)列中的所有項(xiàng)都是奇數(shù).
此時(shí),即
,所以
為偶數(shù).
(3)存在滿足
,理由如下:
因?yàn)?/span>,
為奇數(shù),所以
且
為偶數(shù),
.
假設(shè)為奇數(shù)時(shí),
;
為偶數(shù)時(shí),
.
當(dāng)為奇數(shù)時(shí),
,且
為偶數(shù);
當(dāng)為偶數(shù)時(shí),
.
所以若為奇數(shù),則
;若
為偶數(shù),則
.
因此對(duì)都有
.
所以正整數(shù)數(shù)列中的項(xiàng)的不同取值只有有限個(gè),所以其中必有相等的項(xiàng).
設(shè)集合,設(shè)集合
.
因?yàn)?/span>,所以
.
令是
中的最小元素,下面證
.
設(shè)且
.
當(dāng)時(shí),
,
,所以
;
當(dāng)時(shí),
,
,所以
.
所以若,則
且
,與
是
中的最小元素矛盾.
所以,且存在
滿足
,即存在
滿足
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)文明發(fā)展理念已經(jīng)深入人心,這將推動(dòng)新能源汽車產(chǎn)業(yè)的迅速發(fā)展,下表是近幾年我國(guó)某地區(qū)新能源乘用車的年銷售量與年份的統(tǒng)計(jì)表:
年份 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
銷量(萬(wàn)臺(tái)) | 8 | 10 | 13 | 25 | 24 |
某機(jī)構(gòu)調(diào)查了該地區(qū)30位購(gòu)車車主的性別與購(gòu)車種類情況,得到的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示:
購(gòu)置傳統(tǒng)燃油車 | 購(gòu)置新能源車 | 總計(jì) | |
男性車主 | 6 | 24 | |
女性車主 | 2 | ||
總計(jì) | 30 |
(1)求新能源乘用車的銷量關(guān)于年份
的線性相關(guān)系數(shù)
,并判斷
與
是否線性相關(guān);
(2)請(qǐng)將上述列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷是否有
的把握認(rèn)為購(gòu)車車主是否購(gòu)置新能源乘用車與性別有關(guān);
參考公式:,
,其中
.
,若
,則可判斷
與
線性相關(guān).
附表:
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司要在一條筆直的道路邊安裝路燈,要求燈柱AB與底面垂直,燈桿BC與燈柱AB所在的平面與道路走向垂直,路燈C采用錐形燈罩,射出的管線與平面ABC部分截面如圖中陰影所示,路寬AD=24米,設(shè)
(1)求燈柱AB的高h(用表示);
(2)此公司應(yīng)該如何設(shè)置的值才能使制作路燈燈柱AB和燈桿BC所用材料的總長(zhǎng)度最小?最小值為多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線C:x2=2py(p>0),直線l交C于A,B兩點(diǎn),且A,B兩點(diǎn)與原點(diǎn)不重合,點(diǎn)M(1,2)為線段AB的中點(diǎn).
(1)若直線l的斜率為1,求拋物線C的方程;
(2)分別過(guò)A,B兩點(diǎn)作拋物線C的切線,若兩條切線交于點(diǎn)S,證明點(diǎn)S在一條定直線上.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知曲線,
相鄰對(duì)稱軸之間的距離為
,且函數(shù)
在
處取得最大值,則下列命題正確的個(gè)數(shù)為( )
①當(dāng)時(shí),m的取值范圍是
;②將
的圖象向左平移
個(gè)單位后所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù);③函數(shù)
的最小正周期為
;④函數(shù)
在區(qū)間
上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).
A.1B.2C.3D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知為定義在
上的奇函數(shù),當(dāng)
時(shí),有
,且當(dāng)
時(shí),
,下列命題正確的是( )
A.B.函數(shù)
在定義域上是周期為
的函數(shù)
C.直線與函數(shù)
的圖象有
個(gè)交點(diǎn)D.函數(shù)
的值域?yàn)?/span>
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了節(jié)能減排,發(fā)展低碳經(jīng)濟(jì),我國(guó)政府從2001年起就通過(guò)相關(guān)政策推動(dòng)新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展.下面的圖表反映了該產(chǎn)業(yè)發(fā)展的相關(guān)信息:
中國(guó)新能源汽車產(chǎn)銷情況一覽表 | ||||
新能源汽車生產(chǎn)情況 | 新能源汽車銷售情況 | |||
產(chǎn)品(萬(wàn)輛) | 比上年同期 | 銷量(萬(wàn)輛) | 比上年同期 | |
2018年3月 | 6.8 | 105 | 6.8 | 117.4 |
4月 | 8.1 | 117.7 | 8.2 | 138.4 |
5月 | 9.6 | 85.6 | 10.2 | 125.6 |
6月 | 8.6 | 31.7 | 8.4 | 42.9 |
7月 | 9 | 53.6 | 8.4 | 47.7 |
8月 | 9.9 | 39 | 10.1 | 49.5 |
9月 | 12.7 | 64.4 | 12.1 | 54.8 |
10月 | 14.6 | 58.1 | 13.8 | 51 |
11月 | 17.3 | 36.9 | 16.9 | 37.6 |
1-12月 | 127 | 59.9 | 125.6 | 61.7 |
2019年1月 | 9.1 | 113 | 9.6 | 138 |
2月 | 5.9 | 50.9 | 5.3 | 53.6 |
根據(jù)上述圖表信息,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A.2017年3月份我國(guó)新能源汽車的產(chǎn)量不超過(guò)萬(wàn)輛
B.2017年我國(guó)新能源汽車總銷量超過(guò)萬(wàn)輛
C.2018年8月份我國(guó)新能源汽車的銷量高于產(chǎn)量
D.2019年1月份我國(guó)插電式混合動(dòng)力汽車的銷量低于萬(wàn)輛
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線l的參數(shù)方程為
(t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.曲線C的極坐標(biāo)方程為
.
(1)求直線l的普通方程及曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)點(diǎn),直線l與曲線C相交于A,B兩點(diǎn),求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列中,已知
,
對(duì)任意
都成立,數(shù)列
的前n項(xiàng)和為
.
(1)若是等差數(shù)列,求k的值;
(2)若,
,求
;
(3)是否存在實(shí)數(shù)k,使數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列,且任意相鄰三項(xiàng)
,
,
按某順序排列后成等差數(shù)列?若存在,求出所有k的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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