Question

設(shè)函數(shù)f（x）=a^x+x^a（a＞0），則下列說法正確的是（　　）

• A、?a＞0，f（x）為偶函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增
• B、?a＞0，f（x）-1為奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增
• C、?a＞0，f（x）為奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞減
• D、?a＞0，f（x）-1為偶函數(shù)，且在R上單調(diào)遞減

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：對于選項A，C是全稱命題，因此只需舉個反例說明其不成立即可，顯然容易找到合適的a的值，使得函數(shù)f（x）不具有奇偶性；對于選項B，D是特稱命題，只需要找到符合題意的a的值使命題成立即可．

解答： 解：不妨取a=2，此時f（x）=2^x+x²，此時f（x）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，所以排除A，C；
取a=1，則f（x）=1+x，所以f（x）-1=x，該函數(shù)即是奇函數(shù)也是R上的增函數(shù)．
所以選項B正確．
故選B．

點評：本題考查了全稱命題、特稱命題真假的判斷方法以及函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判斷方法，屬于基礎(chǔ)題．