【題目】已知橢圓上的一點(diǎn)到其左頂點(diǎn)的距離為.

(1)求橢圓的方程;

(2)若直線與橢圓交于兩點(diǎn)(與點(diǎn)不重合)，若以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),試證明:直線過(guò)定點(diǎn).

【答案】(1) ,(2)

【解析】

(1)把點(diǎn)代入橢圓方程中,再根據(jù)點(diǎn)到其左頂點(diǎn)的距離為可以列出方程,聯(lián)立解方程組即可求出橢圓的方程;

(2)由題意可知：以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),這樣有

根據(jù)直線是否存在斜率分類(lèi)討論，當(dāng)不存在斜率時(shí)，通過(guò)解方程可以證明直線過(guò)定點(diǎn)；當(dāng)存在斜率時(shí)，設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，把轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積最后可以確定直線過(guò)定點(diǎn).

(1)易知左頂點(diǎn)的坐標(biāo)為.

由已知可得，解得,

所以橢圓的方程為.

(2)證明:若以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).則,即,故

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為由題意得為等腹直角三角形，設(shè)直線與橢圓在軸上方的交點(diǎn)為，則的坐標(biāo)為.所以有，

解得 (舍去)或，所以此時(shí)直線的方程為,

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為.,

聯(lián)立： 消去得：

則,

,

由題意，則,

則

,

所以,

化簡(jiǎn)得,

所以，解得或,

當(dāng)時(shí)，滿足.此時(shí)直線方程為.過(guò)定點(diǎn):

當(dāng)時(shí)，滿足.此時(shí)直線方程為.過(guò)定點(diǎn),不合題意.綜上.直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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求；

若，且面積，求的值．

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下列四個(gè)結(jié)論：①AB⊥AC；②AB⊥平面PAC；③PC⊥平面ABE；④BE⊥PC．正確的個(gè)數(shù)是( )

A.1B.2C.3D.4

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（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程；

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