Question

已知函數(shù)，設(shè)

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

（2）若以函數(shù)圖象上任意一點為切點的切線的斜率恒成立，求實數(shù)的最小值

（3）是否存在實數(shù)，使得函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰有四個不同交點？若存在，求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）F(x)=f(x)+g(x)=lnx+(x>0), ==

      ∵a>0,由F^F'(x)>0Þx∈(a,+∞),∴F(x)在(a,+∞)上是增函數(shù).

      由F^F'(x)<0Þx∈(0,a),∴F(x)在(0,a)上是減函數(shù).

      ∴F(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,a)，單調(diào)遞增區(qū)間為(a,+∞).

     （Ⅱ）由F^F'(x)= （0<x≤3）得

      k= F^F'(x₀)= ≤（0<x₀≤3）恒成立Ûa≥-x₀²+x₀恒成立.

     ∵當(dāng)x₀=1時，-x₀²+x₀取得最大值

     ∴a≥,a的最小值為.

   （Ⅲ）若y=g()+m-1=x²+m-的圖像與y=f(1+x²)=ln(x²+1)的圖像恰有四個不同交點，即x²+m-=ln(x²+1)有四個不同的根，亦即m=ln(x²+1)-x²+有四個不同的根.令= ln(x²+1)-x²+.

則G^F'(x)=-x==

當(dāng)x變化時G^F'(x)、G（x）的變化情況如下表：

	（-¥，-1）	（-1,0）	（0,1）	（1，+¥）
GF'(x)的符號	+	-	+	-
G（x）的單調(diào)性	↗	↘	↗	↘