Question

（14分）設(shè)A（），B（）是橢圓的兩點(diǎn)， ，，且，橢圓的離心率，短軸長(zhǎng)為2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。

（1）求橢圓方程；

（2）若存在斜率為的直線AB過(guò)橢圓的焦點(diǎn)F（）（為半焦距），求的值；

（3）試問(wèn)AOB的面積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由。

 

Answer 1

【答案】

 

解： （1）；（2）；（3），說(shuō)明面積為定值。

【解析】本試題主要是考查了橢圓的方程的求解以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。

（1）利用橢圓的離心率，短軸長(zhǎng)為2，可以得到a,b,c的關(guān)系式，進(jìn)而求解得到橢圓的方程。

（2）利用直線與橢圓的方程聯(lián)立方程組結(jié)合韋達(dá)定理和向量的數(shù)量積為零，得到k的值

（3）設(shè)直線返程與橢圓聯(lián)立，借助于向量的數(shù)量積關(guān)系式，進(jìn)而確定三角形的面積為定值。

解： （1）

（2）設(shè)直線AB: 聯(lián)立方程組與然后得到關(guān)于x的一元二次方程

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（3）設(shè)直線AB: 聯(lián)立方程組與然后得到關(guān)于x的一元二次方程

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AOB的面積，說(shuō)明面積為定值。