Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， Sn=n2+2n，bn=anan+1cos（n+1）π，數(shù)列{bn} 的前n項(xiàng)和為T(mén)n ， 若Tn≥tn2對(duì)n∈N*恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】（﹣∞，﹣5]
【解析】解：n=1時(shí)，a1=3．n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=n2+2n﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）]=2n+1．n=1時(shí)也成立，∴an=2n+1． ∴bn=anan+1cos（n+1）π=（2n+1）（2n+3）cos（n+1）π，
n為奇數(shù)時(shí)，cos（n+1）π=1；n為偶數(shù)時(shí)，cos（n+1）π=﹣1．
因此n為奇數(shù)時(shí)，Tn=3×5﹣5×7+7×9﹣9×11+…+（2n+1）（2n+3）=3×5+4×（7+11+…+2n+1）=15+4× =2n2+6n+7．Tn≥tn2對(duì)n∈N*恒成立，
∴2n2+6n+7≥tn2 ， t≤ + +2= ，∴t＜2．
n為偶數(shù)時(shí)，Tn=3×5﹣5×7+7×9﹣9×11+…﹣（2n+1）（2n+3）=﹣4×（5+9+11+…+2n+1）=﹣2n2﹣6n．
∴Tn≥tn2對(duì)n∈N*恒成立，∴﹣2n2﹣6n≥tn2 ， t≤﹣2﹣ ，∴t≤﹣5．
綜上可得：t≤﹣5．
故答案為：（﹣∞，﹣5]．
n=1時(shí)，a1=3．n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1 ， 可得an=2n+1．bn=anan+1cos（n+1）π=（2n+1）（2n+3）cos（n+1）π，n為奇數(shù)時(shí)，cos（n+1）π=1；n為偶數(shù)時(shí)，cos（n+1）π=﹣1．對(duì)n分類(lèi)討論，通過(guò)轉(zhuǎn)化利用函數(shù)的單調(diào)性即可得出．