Question

設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，q≠0，q≠1．證明：數(shù)列{a_n}是公比為q的等比數(shù)列的充要條件是Sn=

a1(1-qn)

1-q

．

Answer 1

考點：等比關(guān)系的確定

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：可從充分性與必要性兩個方面進行證明：充分性，由S_n=

a1(1-qn)

1-q

去推證數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列；必要性，由數(shù)列{a_n}是公比為q的等比數(shù)列（q≠1），去推證S_n=

a1(1-qn)

1-q

．

解答： 證明：充分性：∵q≠1，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=

a1(1-qn)

1-q

=a₁（1+q+q²+…+q^n-1），
∴當n≥2時，S_n-1=a₁（1+q+q²+…+q^n-2），
∴a_n=S_n-S_n-1=a₁•q^n-1，
∴a_n+1=a₁•qⁿ，
∵又q≠0，
∴

an+1

an

=q，
∴數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列；
必要性：∵數(shù)列{a_n}是公比為q（q≠1）的等比數(shù)列，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，
∴S_n=

a1(1-qn)

1-q

．

點評：本題考查等比關(guān)系的確定與等比數(shù)列的求和公式的應用，考查分析推理與證明的能力，屬于中檔題．