Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n且滿足3S_n-4a_n=2n-4，n∈N^*．
（1）證明：當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=4a_n-1-2；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)c_n=

an

an+1

T_n為數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和，證明：T_n＜

2n+1

8

．

Answer 1

分析：（1）利用3S_n-4a_n=2n-4，可得3S_n-1-4a_n-1=2（n-1）-4，兩式作差即可．
（2）由（1）的結(jié)論，把a(bǔ)_n=4a_n-1-2轉(zhuǎn)化為a_n-

2

3

=4（a_n-1-

2

3

）；即{a_n-

2

3

}為等比數(shù)列，可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）由（2）的結(jié)論求出數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式，再對數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式放縮后分離常數(shù)，分組求和即可．

解答：解：（1）3S_n-4a_n=2n-4，①
得當(dāng)n≥2時(shí)，3S_n-1-4a_n-1=2（n-1）-4   ②
①-②得，3（S_n-S_n-1）-4a_n+4a_n-1=2?-a_n+4a_n-1=2?a_n=4a_n-1-2；

（2）∵當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=4a_n-1-2；?a_n-

2

3

=4（a_n-1-

2

3

）；?{a_n-

2

3

}是以a₁-

2

3

為首項(xiàng)4為公比的等比數(shù)列．
又3S₁-4a₁=2-4?a₁=2?a₁-

2

3

=

4

3

∴a_n-

2

3

=

4

3

•4^n-1?a_n=

2

3

+

4

3

•4^n-1=

4n+2

3

．

（3）∵c_n=

an

an+1

=

4n+2

4n+1+2

＜

4n+ 2

4n+1

=

1

4

+

2

4n+1

當(dāng)n=1時(shí)，T₁=

a1

a2

=

1

3

＜

3

8

n≥2時(shí)，T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n＜

a1

a2

+

n-1

4

+2（

1

43

+

1

44

+…+

1

4n+1

）
=

1

3

+

n-1

4

+2×

1 43 - 1 4n+1 • 1 4

1- 1 4

=

2n+1

8

-

2

3•4n+1

＜

2n+1

8

綜上，對所有的正整數(shù)n，都有   T_n＜

2n+1

8

．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列求和的分組求和法．?dāng)?shù)列求和的常用方法有：裂項(xiàng)求和，錯位相減法求和，分組求和，倒序相加求和，公式法等．